КОРРЕЛЯЦИЯ КАТЕГОРИЗИРОВАННЫХ (НОМИНАЛЬНЫХ) ПЕРЕМЕННЫХ

Основой изучения связи номинальных переменных служит таблица сопряженности – двухмерное распределение единиц совокупности по переменным х и у (табл. 9).

Таблица 9

В итоговых частотах точкой обозначено суммирование по одному из подстрочных значков.

Частоты, стоящие в клетках таблицы, называются клеточными частотами. Именно по их значениям судят о наличии и тесноте связи. Если единицы совокупности концентрируются в диагональных клетках таблицы, то налицо наличие связи; если же такой концентрации не наблюдается – связи может не быть.

Факт наличия связи устанавливается с помощью критерия :

, (35)

где n_ij – фактическая клеточная частота, т.е. число единиц с i-м значением признака х и j-м значением признака у; - теоретическая клеточная частота, отвечающая предположению о независимости переменных х и у, т.е. отсутствию связи.

Как известно, вероятность двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

. (36)

Для того чтобы от вероятностей (частностей) перейти к частотам, вероятность нужно умножить на n. Получаем формулу клеточной частоты

, (37)

т.е. итог по i-й строке нужно умножит на итог по j-му столбцу, и разделить на общее число данных.

Сумма теоретических частот во всех клетках таблицы равна общему числу наблюдений n:

Сумма теоретических частот по строкам и столбцам таблицы равна соответственно n_i и n_j:

Таким образом, теоретические частоты – это перераспределение исходных данных в предположении, что связь между переменными х и у отсутствует.

Величина показывает, насколько велико расхождение фактических частот с теми, которые были бы, если бы х и у были независимыми. Такое расхождение так или иначе всегда будет, поэтому существует таблица критических значений критерия , которая содержит предельно возможные значения статистики в случае предположения о независимости переменных.

Распределение зависит от числа степеней свободы и уровня значимости α. Число степеней свободы определяется следующим образом:

, (38)

где m – число категорий переменной х, или число строк таблицы сопряженности; p – число категорий переменной у, или число столбцов таблицы сопряженности; mp – число клеток таблицы сопряженности. Уровень значимости обычно принимается равным α – 0,05 или 0,01 (5% или 1%).

Вычисленное по вышеуказанной формуле значение сравнивается с критическим (табличным) значением при данном числе степеней свободы и принятом уровне значимости. Если , то делается вывод о наличии связи признаков х и у, и наоборот, если , то гипотеза о независимости х и у не отклоняется, т.е. наличие связи может считаться доказанным.

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

│►9. При анализе работы фирмы, оказывающей сантехнические услуги как коммерческим организациям, так и индивидуальным заказчикам, возникла необходимость оценить связь между типами клиентов и качеством обслуживания. С этой целью была построена таблица сопряженности (табл. 10):

Таблица 10

Соотношение типа клиента и качества обслуживания

Анализируя данные табл. 10, видим, что среди обслуженных компаний лишь 10% высказали претензии к качеству обслуживания, тогда как из индивидуальных заказчиков доля тех, кого не устроило качество работ, составила 24%. Чтобы удостовериться, что связь между типом клиента и качеством обслуживания существует, вычислим значения. Для этого рассчитаем теоретические частоты, которые запишем в клетках таблицы в правом верхнем углу.

; ;

; .

Учитывая, что мы имеем дело с таблицей (четырехклеточной), можно было бы не вычислять и , а получена их разность и .

Поскольку теоретические клеточные частоты – рассчитанные величины, они могут быть нецелыми числами, как получилось в нашем примере. Сумма всех теоретических частот равна объему выборки, n=633. Итоги по строкам и столбцам таблицы равны маргинальным частотам: (133,2+34,8=168), (133,2+368,8=502).

Вычислим значение :

.

Табличное значение при числе степеней свободы и уровне значимости α=0,05 (т.е. при 95% доверительной вероятности) составляет 3,84.

А величина . Следовательно, наличие связи может считаться доказанным и действительно, от типа клиента зависит качество обслуживания. ◄

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

После того как связь установлена, приступают к ее измерению, поскольку не является мерой связи. Величина этого критерия зависит от объема совокупности, числа строк и столбцов таблицы, , т.е. значение может быть сколь угодно большим.

Меры связи, используемые в статистике, изменяются в интервале от 0 до1. И это очень удобно с точки зрения интерпретации: выделение слабых связей, умеренно тесных или сильных.