Рассмотрим использование парных коэффициентов корреляции для измерения многофакторной связи

Так, для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных можно применять парные коэффициенты корреляции.

Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретация аналогичны методике расчета линейного коэффициента корреляции в случае однофакторной связи. Если известны средние квадратические отклонения анализируемых величин, то парные коэффициенты корреляции для примера из табл. 4 можно рассчитать проще, с использованием зависимостей

(11)

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

│►5. По десяти предприятиям одной отрасли имеются данные о выпуске продукции (x) в тыс. ед. и о расходе условного топлива (y) в тоннах (графы 1 и 2 табл. 6). Стоит задача найти зависимость расхода топлива от выпуска продукции (или уравнение регрессии y по x) и измерить тесноту зависимости между ними.     Таблица 6 Выпуск продукции и расход условного топлива на предприятиях Выпуск продукции Расход топлива 3,9 4,4 5,5 5,5 6,6 6,6 8,8 12,1 12,1 14,3 Предполагая линейную связь между параметрами уравнения регрессии, определим их значения из системы нормальных уравнений: Все необходимые вычисления выполнены в табличной форме (табл. 3). В результате решения системы получим уравнение тренда в виде. Отсюда Подставляя в это уравнение последовательно значения х=5,6,8,10 и т.д., получаем выравненные (теоретические) значения результативного показателя (графа 5 табл.6). Для измерения тесноты связи между параметрами х и у воспользуемся линейным коэффициентом корреляции Так, используя зависимость (11), находим Определяем и , предварительно найдя и Отсюда Значения линейного коэффициента корреляции r = 0,96 (близкого к единице) характеризует не только меру тесноты зависимости вариации у от вариации х, но и степень близости к линейной. ◄

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

Корреляционный анализ позволяет при расчете определённых показателей выявлять степень влияния каждого из включенного в модель факторов на полученный результативный показатель при неизменном состоянии других факторов.

Частные коэффициенты корреляции применяются для необходимой проверки предположения о том, что связь между двумя переменными X и Y не зависит от влияния третьей переменной. В реальных условиях все переменные, как правило, взаимосвязаны. Теснота этой связи определяется частными коэффициентами корреляции, которые характеризуют степень и влияние одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества переменных, влияние которых исключается, частные коэффициенты корреляции могут быть различного порядка: при исключении влияния одной переменной получаем частный коэффициент корреляции первого порядка; при исключения влияния двух переменных – второго порядка и т.д. Парный коэффициент корреляции между функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэффициенту.

Частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками х₁ и у при исключении влияния признака х₂ вычисляют по формуле:

. (12)

По аналогии – для зависимости у от х₂ при исключении влияния х₁:

. (13)

Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

, (14)

где r_хiуi – парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.

▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

│►6. Выполним расчет частных коэффициентов корреляции для нашего примера:   ; ; .   Итак, связь каждого фактора с изучаемым показателем при условии комплексного воздействия факторов слабее.   Практически отсутствует связь между факторными признаками при элиминировании результативного показателя . Это вполне понятно, внутрисменные простои и квалификация рабочих никак не связаны между собой (если не принимать во внимание необходимость выполнения задания). Другое дело, если стоит вопрос о выполнении задания: более квалифицированный рабочий допустит меньше внутрисменных простоев. Значение парного коэффициента корреляции, в этом случае , подтверждает наличие довольно заметной обратной связи между этими факторами. Изучение парных и частных коэффициентов корреляции позволяет отобрать наиболее существенные, значимые факторы. ◄

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

На основе парных коэффициентов корреляции и средних квадратических отклонений можно легко рассчитать параметры уравнения линейной двухфакторной связи

по следующим формулам:

, (15)

(16)

(17)

Показателем тесноты связи, устанавливаемой между результативными и двумя или более факторными признаками, является совокупный коэффициент множественной корреляции . В случае линейной двухфакторной связи совокупный коэффициент множественной корреляции может быть рассчитан по формуле:

(18)

где r – линейные коэффициенты корреляции (парные); подстрочные индексы показывают, какими признаками они исчисляются.

Совокупный коэффициент множественной корреляции измеряет одновременное влияние факторных признаков на результативный. Его значения находятся в пределах -1 до +1. Чем меньше наблюдаемые значения изучаемого показателя отклоняются от линии множественной регрессии, тем корреляционная связь является более интенсивной, а, следовательно, значение R ближе к единице.

Величина R² называется совокупным коэффициентом множественной детерминации. Она показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов, включенных в уравнение регрессии.

Значение совокупного коэффициента множественной детерминации находится в пределах от 0 до 1. Поэтому, чем ближе R² к единице, тем вариация изучаемого показателя в большей мере характеризуется влиянием отобранных факторов.

Многофакторный корреляционный анализ может быть использован в экономико-статистических исследованиях:

- для приближенной оценки фактического и заданного уровней;

- выявления резервов производства;

- краткосрочного прогнозирования развития производства.