Показатели структуры вариационного ряда. Меры центральной тенденции

При изучении статистической совокупности применяются такие ее характеристики, которые описывают количественно ее структуру, строение.

Квантили– это варианты, занимающие определенное место в ранжированной совокупности. К числу квантилей, наиболее часто используемых в статистическом анализе, относят перцентили, квартили, децили и медиану, которые характеризуют структуру совокупности.

Перцентиль– это значение признака в определенной позиции ранжированного ряда, мера относительной позиции варианта в ряду. Р-тый перцентиль – это значение признака, слева от которого лежит Р% вариантов ряда. Позиция Р-го перцентиля задается как (n+1)Р/100, где n-число вариантов ряда.

В статистике наиболее часто применяются квантили, которые делят ряд на четыре равные части – квартили (от латинского слова quarta - четверть).

Первый квартиль (25-й перцентиль) – это значение признака, слева от которого лежит 1/4 (или 25%) всех вариантов.

Второй квартиль – это 50 перцентиль или медиана. Медиана – значение признака, относительно которого совокупность делится на две равные по числу вариантов части.

Третий квартиль - это точка, слева от которой находится 3/4 или 75% вариантов ряда.

25-й перцентиль называют – нижним квартилем (Q₁,), 50-й перцентиль (медиану) – средним квартилем (Q₂), 75-й перцентиль – верхним квартилем (Q₃).

В статистическом анализе также часто применяют квантили, которые делят совокупность на десять равных частей – децили. Их значения определяются соответственно как 10, 20, ..., 90 перцентили.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

Пример 7. Правительство развивающейся страны объявило конкурс для зарубежных инвесторов на заключение контракта по строительству нового морского порта. В ответ были получены следующие предложения цены (млрд. долл.): 2, 3, 2, 4, 3, 5, 1, 1, 6, 4, 9, 2, 5, 1, 6. Построить вариационный ряд, найти среднюю арифметическую, квартили и 65-ый перцентиль.

Решение. Строим вариационный ряд

Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:

Определим первый квартиль или 25-ый перцентиль. Позиция этого перцентиля: (15+1)*0,25=4. Четвертое по порядку значение равно 2, т.е. Q₁=2.

Определим второй квартиль или 50-ый перцентиль, т.е. медиану. Позиция этого перцентиля: (15+1)*0,5=8. Восьмое по порядку значение равно 3, т.е. Q₂=Ме=3.

Определим третий квартиль или 75-ый перцентиль. Позиция этого перцентиля: (15+1)*0,75=12. Двенадцатое значение признака равно 5, т.е. Q₃=5.

Позиция 65-го перцентиля: (15+1)*0,65=10,4. Десятый по порядку вариант равен 4, а одиннадцатый равен 5. Значение 65-го перцентиля находится в точке, которая делит расстояние десятым и одиннадцатым признаком в отношении 0,4 к 1. Следовательно Р₆₅=4+0,4(5-4)=4,4.

Среднюю арифметическую, медиану и моду часто называют мерами центральной тенденции, так как они являются характеристиками центра распределения данных вариационного ряда.

Что характеризуют эти три меры и каковы их достоинства и недостатки? Средняя суммирует всю информацию и является центром массы. Медиана - это значение признака в центре набора данных. Одна половина значений признака лежит левее этой точки, другая - правее. Точное местонахождение любой точки не существенно при определении медианы; важно только ее положение относительно центрального значения, то есть медиана устойчива по отношению к крайним значениям ряда. Средняя арифметическая напротив весьма чувствительна к положению крайних значений ряда.

Средняя арифметическая имеет существенные преимущества перед другими мерами центральной тенденции. Средняя арифметическая основывается на информации, содержащей все значения вариационного ряда, в то время как медиана базируется только на значении, лежащем «в середине ряда».

Мода не так популярна в статистическом анализе как средняя арифметическая и медиана. Мода говорит нам о том, какое значение в вариационном ряду встречается наиболее часто. В одном ряду может быть несколько мод. Моде, как обобщающей характеристике вариационного ряда, отдается предпочтение при изучении цен на рынке, при изучении спроса населения на отдельные продукты питания, одежду и обувь определенных размеров. Обычно говорят, что если средняя арифметическая близка к моде и медиане, то она типична.

Тема «Измерение вариации»