Классическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности (равновозможности) событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Для примера: при бросании кубика, который имеет точную форму куба и изготовлен из вполне однородного материала, равновероятными событиями будут выпадения какого-нибудь определенного числа очков (1,2,3,4,5,6), обозначенного на гранях этого куба, поскольку в силу наличия симметрии ни одна из граней не имеет объективного преимущества перед другими.

В общем случае рассмотрим какую-либо группу G, состоящую из n попарно несовместимых равновозможных событий (назовем их элементарными событиями): .

Образуем теперь систему F, состоящую из невозможного собы­тия V, всех событий E_k группы G и всех событий А,B,С… которые мо­гут быть подразделены на частные случаи, входящие в состав группы G.

Например, если группа G состоит из трех событий , то в систему F входят события V, E₁,E₂,E₃,E₁+E₂, E₂+E₃, E₁+E₃,U=E₁+E₂+E₃. и т.д.

Легко установить, что система F есть поле событий, в самом деле, очевидно, что сумма, разность и произведение событий из F входят в F; невозможное событие V входит в F по определению, а достоверное событие U входит в F, так как оно представляется в виде

Классическое определение вероятности дается для событий си­стемы F и может быть сформулировано так:

Определение 1. Если событие А подразделяется на т частных случаев, входящих в полную группу из n попарно несовместимых и равновозможных событий, то веро­ятность Р(A) события А равна

(1.3.1)

Например, при однократном бросании игральной кости полная группа попарно несовместимых и равновероятных событий состоит из событий , которые состоят соответственно в выпадении 1,2,3,4,5,6 очков. Событие , состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на три частных случая, входящих в состав полной группы несовместимых и равновероятных событий. Поэтому вероятность события С равна .

Очевидно также, что в силу принятого определения

и т. д.

В теории вероятностей широко используется следующая термино­логия, к которой мы часто впоследствии будем обращаться. Предста­вим себе, что для выяснения вопроса, произойдет или не произойдет событие А (например, выпадение числа очков, кратного трем), необ­ходимо произвести некоторое испытание (т. е. осуществить комплекс условий), которое дало бы ответ на поставленный вопрос (в нашем примере требуется бросить игральную кость). Полная группа попарно несовместимых и равновероятных событий, которые могут произойти при таком испытании, называется полной группой возмож­ных результатов испытания. Те из возможных результатов испы­тания, на которые подразделяется событие А, называются результа­тами испытания благоприятствующими А. Пользуясь этой термино­логией, можно сказать, что вероятность Р(A) события А равняется отношению числа возможных результатов испыта­ния, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов испытания.

В соответствии с приведенным определением каждому событию A, принадлежащему построенному сейчас полю событий F, приписывается вполне определенная вероятность

где m есть число тех событий E_i исходной группы G, которые явля­ются частными случаями события A. Таким образом, вероятность Р(A) можно рассматривать как функцию от события А, определенную на поле событий F.

Вероятность P(A) обладает следующими свойствами:

1. Для каждого события А поля F

(1.3.2)

2. Для достоверного события U

(1.3.3)

3. Если событие А подразделяется на частные случаи В и С и все три, события. А, В и С принадлежат полю F, то

(1.3.4)

Это свойство называется теоремой сложения вероятностей. Свойство 1 очевидно, так как дробь — не может быть отрицательной. Свойство 2 не менее очевидно, так как достоверному собы­тию U благоприятствуют все п возможных результатов испытания, и поэтому .

Докажем свойство 3. Пусть событию В благоприятствуют m', а событию С соответственно m" событий Еi группы G. Так как события В и С по допущению несовместимы, то события Еi, благоприятствующие одному из них, отличны от событий Еi, благоприятствующих другому. Всего, таким образом, имеется m'+m" событий Еi, благоприятствую­щих появлению одного из событий В или С, т. е. благоприятствующих событию В+С=А. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Ограничимся здесь указанием еще нескольких свойств вероят­ности.

4. Вероятность события , противоположного событию A, равна

Действительно, так как А + = U, то согласно уже доказанному свойству 2

а так как события А и несовместимы, то по свойству 3

Два последних равенства доказывают наше предложение.

5. Вероятность невозможного события равна нулю.

В самом деле, события U и V несовместимы, поэтому

откуда следует, что .

6. Если событие А влечет за собой событие В, то

Действительно, событие В может быть представлено как сумма двух событий A и . Отсюда в силу свойств 3 и 1 получаем:

7. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Из того, что для любого события A имеют место соотношения

следует в силу предыдущего свойства, что имеют место неравенства

что и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров вычисления вероят­ностей событий, пользуясь классическим определением вероятности. Приводимые примеры носят исключительно иллюстративный характер и не претендуют на то, чтобы сообщить читателю все основные методы расчета вероятностей.

Пример 1. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются три кар­ты. Найти вероятность того, что среди них окажется точно один туз.

Решение. Полная группа равновероятных и несовместимых событий в нашей задаче состоит из всевозможных комбинаций по три карты, их число равно . Число благоприятствующих событий можно подсчитать следующим способом. Один туз мы можем вы­брать различными способами, а две другие карты (не тузы) можно выбрать различными способами. Так как для каждого определенного туза две остальные карты могут быть выбраны способами, то всего благоприятствующих случаев будет . Искомая вероятность, таким образом, равна

т. е. немного больше 0,25.

Пример 2. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение. Обозначим интересующее нас событие буквой А:

оно может быть представлено в виде суммы трех следующих несо­вместимых событий: А1 — появление одного туза, А2 — появление двух тузов, A3—появление трех тузов.

Рассуждениями, аналогичными тем, которые мы привели при реше­нии предыдущей задачи, легко установить, что число случаев, благо­приятствующих

событию равно ,

событию равно ,

событию равно .

Так как число всевозможных случаев равно , то

В силу теоремы сложения

Этот пример можно решить и иным методом. Событие , проти­воположное А, состоит в том, что среди вынутых карт не окажется ни одного туза. Очевидно, что три не туза можно вынуть из колоды карт различными способами и, следовательно,

Искомая вероятность равна

Примечание. В обоих примерах выражение «наудачу» озна­чало, что всевозможные комбинации по три карты равновероятны.