Алгебра событий. Пространство элементарных событий.

Прежде чем перейти к классическому определению понятия ве­роятности, мы сделаем несколько предварительных замечаний. Будем считать фиксированным комплекс условий и станем рассматривать некоторую систему F событий А,В,С,… каждое из которых может произойти или не произойти при каждом осуществлении комплекса условий. Между событиями системы F могут существовать известные соотношения, с которыми мы постоянно будем иметь дело и которые поэтому прежде всего изучим.

1) Если при каждом осуществлении комплекса условий, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то будем говорить, что А влечет за собой В, и обозначать это обстоятельство символом .

2) Если А влечет за собой В и в то же время В влечет за со­бой А, т. е. если при каждой реализации комплекса условий со­бытия А и В оба наступают или оба не наступают, то будем говорить, что события А и В равносильны, и будем обозначать это обстоятельство символом А=В.

Заметим, что во всех исследованиях теории вероятностей равно­сильные между собой события могут заменять друг друга. Поэтому условимся в дальнейшем любые два равносильных события счи­тать просто тождественными друг другу.

3) Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется произведением событий A и В и обозначается символом АВ (или А∩В).

4) Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из собы­тий А и В, будем называть суммой событий А и В и обозначать символом A+B (или A В).

5) Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а со­бытие В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается символом А—В.

6) Два события А и называются противоположными, если для них одновременно выполняются два соотношения:

Например, если при бросании одной игральной кости С обозначает выпадение четного числа очков, то

есть событие, состоящее в выпадении нечетного числа очков.

Проиллюстрируем введенные понятия на простейших примерах. Пер­вый из них представляет собой так называемую диаграмму Вьенна.

Пусть комплекс условий состоит в том, что внутри квадрата, изображенного на рис. 1.2.1 выбирается наудачу точка. Обозначим че­рез А событие «выбранная точка лежит внутри левой окружности» и через В событие «выбранная точка лежит внутри правой окруж­ности». Тогда события А, ,В, , , состоят в попадании выбранной точки внутрь областей, заштрихованных на соответствующих фигурах рис. 1.2.1.

Рассмотрим другой пример. Допустим, что комплекс условий состоит в том, что на стол бросается (один раз) игральная кость.

Рис. 1.2.1.

Обозначим через А выпадение на верхней грани кости шести очков, через В—выпадение трех очков, через С—выпадение какого-либо четного числа очков, через D—выпадение какого-либо числа очков, кратного трем. Тогда события А,В,С и D связаны следую­щими соотношениями:

Определение суммы и произведения двух событий обобщается на любое число событий и обозначает событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий и обозначает событие, заключающееся в наступлении всех событий А,В,..,D.

Очевидно, что все достоверные события равносильны между собой. Поэтому законно обозначать все достоверные события одной буквой. Мы будем употреблять для этого букву U. Все невозможные собы­тия тоже равносильны между собой. Мы будем обозначать любое невозможное событие буквой V.

7) Два события А и В называются несовместимыми, если их совместное появление невозможно, т. е. если

Если и события попарно несовместимы, т. е. , то говорят, что событие А подразделяется на частные случаи . Например, при бросании игральной кости событие С, состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на частные случаи , состоящие соответственно в выпадении 2, 4 и 6 очков.

События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти (при каждом осуществлении комплекса), т. е. .

Особенно существенны для нас в дальнейшем будут полные группы попарно несовместимых событий. Такова, например, при однократ­ном бросании игральной кости система событий состоящая соответственно в появлении 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков.

8) В каждой задаче теории вероятностей приходится иметь дело с каким-либо определенным комплексом условий и с какой-либо определенной системой F событий. Относительно этой системы целесообразно сделать следующие допущения:

а) если системе F принадлежат события А и В, то ей при­надлежат также события и т.д.

б) система F содержит достоверное и невозможное события.

Система событий, удовлетворяющая этим допущениям, называется полем событий.

В рассмотренных нами иллюстративных примерах всегда было можно выделить такие события, которые не могли быть разложены на более простые: выпадение определенной грани при бросании игральной точки; попадание в определенную точку квадрата при рассмотрении диаграммы Вьенна. Условимся называть такие неразло­жимые события элементарными событиями.

При построении математической теории вероятностей наши ин­туитивные представления требуют большей формализации, чем та с которой мы имели дело до сих пор. В современном изложении теории вероятностей исходят из множества элементарных событий или, как теперь принято говорить, пространства элементарных событий. Природа элементов этого пространства заранее не оговаривается, поскольку важно иметь достаточно широкий выбор для охвата всех возможных случаев. В частности, элементами простран­ства могут быть точки евклидова пространства, функции одного или нескольких переменных и т. д. Множества точек пространства эле­ментарных событий образуют случайные события. Событие, состоящее из всех точек пространства элементарных событий, называется досто­верным событием. Все, что мы говорили о соотношениях между случайными событиями в настоящем параграфе, сохраняет силу и для формального построения теории. Сейчас мы ограничимся указанием на то что для случайных со­бытий имеют место следующие законы:

коммутативный

ассоциативный

дистрибутивный

тождества

Доказательство этих законов мы предоставим читателю. Для лиц, знакомых с элементами теории множеств, его проведение не соста­вит труда.