Введение. (Цифры таблицы являются значениями коэффициента корреляции r, соответствующими значениям z, указанными слева и сверху таблицы) z 0,00 0,01

(Цифры таблицы являются значениями коэффициента корреляции r, соответствующими значениям z, указанными слева и сверху таблицы)

[1] : Россия 2007:Стат. справочник/Росстат. – М., 2007. – С.14.

[2] Россия 2007:Стат. справочник/Росстат. – М., 2007. – С.42.

[3] См.: Россия 2007: Стат. справочник/ Росстат. – М., 2007. – С. 18, 11, 37, 50.

[4] Пример заимствован из: Образцова О.И. Экономическая и социальная статистика. Курс лекций. М.: ГУ ВШЭ, 2005.

Теория вероятностей

(Учебное пособие)

Казань 2004

Предназначено для студентов специальностей 0102, 2201-2205, занимающихся изучением компьютерных и информационных технологий.

Основная цель, которую ставили перед собой авторы состоит в том чтобы в методически более удобной форме изложить материал необходимый для изучения курса теории вероятностей и получения навыков решения вероятностных задач. Пособие содержит теоретическую часть, практические занятия, тесты и разделы, позволяющие самостоятельно развивать навыки решения практических задач.

Пособие выполнено в электронном виде, работает в среде Learning Space 5.01 и может быть использовано для обучения студентов по дистанционной технологии.

Содержание

1. Теоретическая часть. 7

Введение. 7

Раздел 1. Понятие события и его вероятности. 10

1.1. Предмет теории вероятности. 10

1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий. 12

1.3. Классическое определение вероятности. 15

1.4. Геометрические вероятности. 19

1.5. Частота и вероятность. 22

1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей. 23

1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы. 29

1.8. Формула полной вероятности. 32

1.9 Формула Бейеса. 34

Раздел 2. Последовательные независимые испытания. 36

2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли. 36

2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов. 39

Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства. 42

3.1. Понятие случайной величины и функции распределения. 42

3.2. Свойства функции распределения. 44

3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины. 46

3.4. Числовые характеристики случайных величин. 48

Раздел 4. Примеры распределений случайных величин. 57

4.1. Биномиальное распределение. 57

4.2. Теорема Пуассона. 58

4.3. Закон Пуассона. 59

4.4. Равномерное распределение. 61

4.5. Показательное распределение. 63

4.6. Нормальный закон распределения. 64

Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы). 72

5.1. Понятие о системе случайных величин. 72

5.2. Функция распределения системы двух случайных величин. 73

5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. 75

5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения. 77

5.5. Зависимые и независимые случайные величины. 80

5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. 82

5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора). 86

5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин. 88

Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 91

6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента. 91

6.2. Закон распределения функции двух случайных величин. 95

6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения. 96

6.4. Распределение произведения. 100

6.5. Распределение квадрата случайной величины. 101

6.6. Распределение частного. 101

6.7. Числовые характеристики функций случайных величин. 102

Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках. 106

7.1. Основные теоремы о математическом ожидании. 106

7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины. 109

7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин. 112

Раздел 8. Характеристические функции. 114

8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций. 114

8.2. Предельные теоремы для характеристических функций. 118

Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин. 120

9.1. Сходимость последовательностей случайных величин. 120

9.2. Закон больших чисел. 121

9.3. Следствия закона больших чисел. 126

Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей. 128

10.1. Центральная предельная теорема. 128

10.2. Теорема Ляпунова. 129

10.3. Теорема Лапласа. 131

2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. 133

Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности. 133

1.1. Краткая теоретическая часть. 133

1.2. Тест. 134

1.3. Решение типовых задач. 135

1.4. Задачи для самостоятельной работы. 138

Занятие 2. Геометрическое определение вероятности. 140

2.1. Краткая теоретическая часть. 140

2.2. Тест. 141

2.3. Решение типовых задач. 143

2.4. Задачи для самостоятельной работы.. 146

Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. 149

3.1. Краткая теоретическая часть. 149

3.2. Тест. 149

3.3. Решение типовых задач. 151

3.4. Задачи для самостоятельной работы.. 152

Занятие 4. Теорема сложения вероятностей. 156

4.1. Краткая теоретическая часть. 156

4.2. Тест. 156

4.3. Решение типовых задач. 158

4.4. Задачи для самостоятельной работы.. 160

Занятие 5. Формула полной вероятности. 163

5.1. Краткая теоретическая часть. 163

5.2. Тест. 163

5.3. Решение типовых задач. 164

5.4. Задачи для самостоятельной работы.. 166

Занятие 6. Формула Бейеса. 169

6.1. Краткая теоретическая часть. 169

6.2.Тест. 169

6.3. Решение типовых задач. 170

6.4. Задачи для самостоятельной работы.. 172

Занятие 7. Последовательные независимые испытания. 175

7.1. Краткая теоретическая часть. 175

7.2. Тест. 177

7.3. Решение типовых задач. 179

7.4. Задачи для самостоятельной работы.. 181

Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины. 185

8.1. Краткая теоретическая часть. 185

8.2. Тест. 186

8.3. Решение типовых задач. 188

8.4. Задачи для самостоятельной работы.. 193

Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин. 197

9.1. Краткая теоретическая часть. 197

9.2. Тест. 198

9.3. Решение типовых задач. 199

9.4. Задачи для самостоятельной работы.. 203

Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины. 212

10.1. Краткая теоретическая часть. 212

10.2. Тест. 212

10.3. Решение типовых задач. 214

10.4. Задачи для самостоятельной работы.. 216

Занятие 11. Закон Пуассона. 222

11.1. Краткая теоретическая часть. 222

11.2. Тест. 222

11.3. Решение типовых задач. 223

11.4. Задачи для самостоятельной работы.. 224

Занятие 12. Закон нормального распределения. 228

12.1. Краткая теоретическая часть. 228

12.2. Тест. 228

12.3. Решение типовых задач. 230

12.4. Задачи для самостоятельной работы.. 232

Литература.. 236

1. Теоретическая часть.

Введение

Цель настоящего издания состоит в изложении основ теории вероятностей—математической науки, изучающей закономерности случайных явлений.

Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. и связано с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Якова Бернулли. В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, связанными с азартными играми и не укладывающимися в рамки математики того времени, выкристаллизовались постепенно такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом, конечно, нужно отдавать себе ясный отчет, что выдающиеся ученые, занимаясь зада­чами азартных игр, предвидели и фундаментальную роль науки, изу­чающей случайные явления. Они были убеждены в том. что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. Однако вследствие низкого уровня развития естествознания того вре­мени азартные игры, а также вопросы страхования и демографии еще долго продолжали оставаться тем единственным конкретным материа­лом, на основе которого создавались понятия и методы теории веро­ятностей. Это обстоятельство накладывало отпечаток и на формально-математический аппарат, посредством которого решались возникавшие в теории вероятностей задачи: он сводился исключительно к эле­ментарно-арифметическим и комбинаторным методам. Последующее развитие теории вероятностей, а также широкое привлечение ее результатов и методов исследования в естествознание и в первую очередь в физику показали, что классические понятия и классические методы не потеряли своего интереса и в настоящее время.

Серьезные требования со стороны естествознания (теория ошибок наблюдений, задачи теории стрельбы, проблемы статистики, в первую очередь статистики народонаселения) привели к необходимости даль­нейшего развития теории вероятностей и привлечения более развитого аналитического аппарата. Особенно значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли Муавр, Лаплас, Гаусс, Пуассон. С формально-аналитической стороны к этому же на­правлению примыкает работа творца неевклидовой геометрии Н. И. Ло­бачевского, посвященная теории ошибок при измерениях на сфере к выполненная с целью установления геометрической системы, господ­ствующей во вселенной.

С половины XIX столетия и приблизительно до двадцатых годов двадцатого века развитие теории вероятностей связано в большой степени с именами русских ученых: П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ля­пунова. Этот успех русской науки был подготовлен деятельностью В. Я. Буняковского, широко культивировавшего в России исследования по применению теории вероятностей к статистике, в особенности к стра­ховому делу и демографии. Им был написан первый в России курс теории вероятностей, оказавший большое влияние на развитие в России интереса к этой области науки. Основное непреходящее значение ра­бот Чебышева, Маркова и Ляпунова в области теории вероятностей со­стоит в том, что ими было введено и широко использовано понятие случайной величины. С результатами Чебышева относительно закона больших чисел, с «цепями Маркова» и с предельной теоремой Ляпунова мы познакомимся в соответствующих разделах настоящей книги.

Современное развитие теории вероятностей характеризуется всеоб­щим подъемом интереса к ней, а также расширением круга ее прак­тических приложений. В США, Франции, Швеции, Италии, Японии, Великобритании, Польше, Венгрии и других странах мира имеется немало ученых, обогащающих теорию вероятностей важными резуль­татами. В этой напряженной научной работе русская школа теории вероятностей продолжает занимать видное положение. Среди пред­ставителей русских ученых прежде всего должны быть названы имена С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина. В процессе изложения мы будем вынуждены самим существом дела вводить читателя в курс преобразовавших лицо теории вероятностей идей и результатов ученых нашего времени. Так, уже в первой главе мы будем говорить о фундаментальных работах С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова по обоснованиям теории вероятностей. В первом десятилетии нашего столетия Э. Борель указал на идеи, связывающие теорию вероятностей с метрической теорией функций действительного переменного. Несколько позднее—уже в двадцатые годы—А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров, Е. Е. Слуцкий, П. Леви, А. Ломницкий и др. широко развили эти идеи, оказавшиеся весьма плодотворными для развития науки. Заметим, в частности, что именно на этом пути удалось найти окончательное решение классических задач, поставлен­ных еще Чебышевым. Основные успехи в этом направлении связалы с именами Линдеберга, С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, В. Феллера, П. Леви и ряда других. Идеи метри­ческой теории функций, а впоследствии и функционального анализа позволили значительно расширить содержание теории вероятностей. К тридцатым годам относится создание основ теории стохастических (вероятностных, случайных) процессов, которая теперь стала основ­ным направлением исследований в теории вероятностей. Указанная теория служит прекрасным образцом того органического синтеза математического и естественнонаучного мышления, когда математик, овладев физическим существом узловой проблемы естествознания, находит для нее адекватный математический язык.

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, раз­вилась из потребностей практики; в абстрактной форме она отра­жает закономерности, присущие случайным событиям массового харак­тера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и других областях естествознания, военном деле, разнообразнейших тех­нических дисциплинах, экономике и т. д. В последнее время в связи с широким развитием предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей используются не только для браковки уже изготовленной продукции, но, что важнее, для организации са­мого процесса производства (статистический контроль в производстве).

Связь теории вероятностей с практическими потребностями, как уже было отмечено, была основной причиной бурного развития ее в последние три десятилетия. Многие ее разделы были развиты как раз в связи с ответами на запросы практиков. Здесь кстати вспом­нить замечательные слова основателя нашей отечественной школы теории вероятностей П. Л. Чебышева «Сближение теории с практи­кой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных.