Критерии согласия

Критерии согласия предназначены для проверки того, что нулевая гипотеза H₀ о виде распределения соответствует выборочным данным.

Рассмотрим таблицу выборочного закона распределения некоторого вариационного ряда. Наша задача состоит в том, чтобы, во-первых, подобрать соответствующий закон теоретического распределения. Предположим, что нам удалось найти некоторую теоретическую функцию плотности f(x), приближённо соответствующую данному вариационному ряду. Тогда, во-вторых, надо проверить насколько точно наши статистические данные соответствуют выбранному теоретическому распределению. В этом случае альтернативная гипотеза не выдвигается. Схема проверки нулевой гипотезы практически не изменяется.

Представим функцию f(x) виде гистограммы (см. рис.2.2), разбив размах выборки и предполагаемой генеральной совокупности на r разрядов.

Представим теоретические и полученные после предварительной обработки выборки частоты попадания случайной величины в соответствуюший разряд в виде следуюшей таблицы:

Предполагается, что объем выборки равен n, т.е.

m₁ + m₂ +…+ m_r = n. (2.8)

По теоретическому закону распределения, заданному с помощью функции f(x), находим вероятности попадания случайной величины X в каждый из данных разрядов: p₁, p₂, …, p_k. Затем вычисляем теоретические частоты n_i, умножив вероятности на объем выборки: n_i = np_i. В качестве критерия согласия применяют критерий ("хи-квадрат") Пирсона:

. ( 2.9)

Распределение зависит только от одного параметра k - числа степеней свободы. Число степеней свободы k равно числу разрядов rминус число независимых условий, наложенных на частоты m_i.

Условие (2.8) накладывается всегда. Часто используют еще два условия: равенство среднего значения и математического ожидания и равенство выборочной и теоретической дисперсий. Поэтому обычно выполняется равенство

k = r - 3. (2.10)

Пример 2.6.При уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты

Решение.Вычислим значение критерия Пирсона

= = 2,457.

Число степеней свободы в данном случае k = 8 - 3 = 5. По таблице критических точек распределения по уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы k = 5 находим = 11,1. Итак, < , поэтому можно принять нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Замечание. Критерий Пирсона, как показывает практика, успешно применяется для выборок объема n>50 и если все частоты n_i = np_i>5.