Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Линейного преобразования




Читайте также:
  1. II 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (CONVERSIONS)
  2. III. Преобразования при половом созревании
  3. Аналитического преобразования.
  4. Вернёмся к решению однородного линейного Д.У. – II с постоянными коэффициентами
  5. Вопрос 1. Петровские преобразования - начало модернизации и сближения России и Европы.
  6. Вопрос. Материалистическая диалектика как всеобщий метод познания и преобразования мира
  7. Восстановление народного хозяйства в послевоенный период и преобразования в экономике в 1950-е — первой половине 1960-х годов
  8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ
  9. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
  10. Глава 8.1. Особенности голосования по вопросам изменения границ муниципального образования, преобразования муниципального образования

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A .

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, … ,ln уравнения:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l2 - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l1 = 7; l2 = 1;

Для корня l1 = 7:

Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

Для корня l2 = 1:

Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

Составим характеристическое уравнение:

 

 

 

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l2 - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l2) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l2 - 4l + 6l2 - l3 + 10l - 40 = 0

-l3 + 7l2 – 36 = 0

-l3 + 9l2 - 2l2 – 36 = 0

-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0

(l + 2)(-l2 + 9l - 18) = 0

Собственные значения: l1 = -2; l2 = 3; l3 = 6;

 

1) Для l1 = -2:

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 0; x3 = -1;

Собственные векторы:

 

2) Для l2 = 3:

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = -1; x3 = 1;

 

Собственные векторы:

 

3) Для l3 = 6:

 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 2; x3 = 1;



Собственные векторы:

 

 


Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 8; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты