Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла




 

Из геометрического смысла определенного интеграла вытекает: если на то

где площадь криволинейной трапеции (рис. 1).

Рассмотрим теперь случай, когда на

Тогда на Графики этих функций симметричны относительно оси и поэтому площадь

равна площади (рис. 8), а следовательно,

 


или

 


Тогда в общем случае, когда функция меняет знак на например (рис. 9), имеем:

Пусть теперь фигура ограничена графиком функции (сверху) и (снизу), прямыми и (рис. 10). Найдем ее площадь.


Для этого перенесем параллельно оси ординат фигуру вверх на расстояние так, чтобы она оказалась выше оси абсцисс (рис. 11). После этого переноса ее ограничивают графики функций и

 

 

При переносе площадь не меняется и поэтому

 

площ. площ.

=

 

 

 

Пример 44.

 


Найти площадь фигуры, ограниченной параболами

и

Рис. 12

 

Сначала найдем точки пересечения парабол, для чего решим систему уравнений

 

{ y=4x—x2   y=x2—6

(эти точки принадлежат и той, и другой параболе, и потому их координаты удовлетворяют одновременно уравнениям обеих парабол).

Из этой системы получаем:

откуда

Тогда искомая площадь будет равна:

 

 

=

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 112; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты