КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Уравнения с разделяющимися переменнымиПростейшим дифференциальным уравнением первого порядка (Д.У. – I) является уравнение вида или Как известно из курса интегрального исчисления, функция у находится интегрированием Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными. Это видно, если одно из слагаемых перенести в правую часть: Проинтегрируем обе части последнего уравнения и получим так называемый общий интеграл (или общее решение) Пример. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее условию Решение: Запишем уравнение в виде Проинтегрируем обе части и учтём постоянную интегрирования В полученный общий интеграл подставим данное начальное условие Отсюда Искомое частное решение (или частный интеграл):
Можно упростить полученный интеграл, умножив на 6 и пропотенцировав
Заметим, что общее решение или частное решение может иметь различные формы. Правильность решения нужно доказать проверкой. В нашем случае докажем, что частный интеграл получен правильно. Для этого продифференцируем обе части полученного равенства и из системы двух уравнений, из которых одно – полученный частный интеграл, а другое – результат его дифференцирования, получим дифференциальное уравнение, предложенное для решения. упростим полученное равенство и запишем систему
Подставив в первое уравнение выражение для полученное из второго уравнения, имеем или — данное Д.У..
Определение. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными, если выражения и можно представить в виде произведения функций и Чтобы решить такое Д.У., необходимо привести его к виду Д.У. с разделёнными переменными, для чего разделим на произведение Действительно, разделив все члены уравнения на произведение , получим - Д.У. с разделёнными переменными. Для решения его достаточно проинтегрировать обе части уравнения - общий интеграл Д.У.. При решении Д.У. с разделяющимися переменными надо знать Правило разделения переменных: Первый шаг. Если Д.У. содержит производную, её следует записать в виде отношения дифференциалов Второй шаг. Умножив на дифференциал независимой переменной (dx), сгруппировать слагаемые, содержащие дифференциал функции и дифференциал независимой переменной (dy и dx). Третий шаг. Выражения, полученные при dy и при dx представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых содержит только одну переменную (либо y, либо x). Если после этого уравнение примет вид то разделив на произведение уравнение приводим к уравнению с разделёнными переменными. Четвёртый шаг. Интегрируя каждую часть уравнения, получим общее решение исходного уравнения (или его общий интеграл) Например, рассмотрим уравнения № 1. № 2. № 3. Укажем, какие из них являются Д.У. с разделяющимися переменными. Д.У. № 1 легко приводится к виду Разделив на получим - уравнение с разделёнными переменными. В Д.У. № 2 заменим на умножим на , получим + Сгруппировав первые два слагаемые, сразу вынесем за скобку множитель - уравнение с разделяющимися переменными. Разделив на получим Уравнение №3 не может быть уравнением с разделяющимися переменными, т.к. записав его в виде или видим, что выражение в виде произведения двух множителей (один – только с у, другой – только с х) представить невозможно. Заметим, что иногда нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы видеть, что данное Д.У. – с разделяющимися переменными. Рассмотрим следующие Д.У.: №4. Применим известную формулу получим или - уравнение с разделяющимися переменными. Разделив на sin y, получим Интегрируя, получим общий интеграл или Можно использовать определение логарифма и записать общий интеграл в виде (а) Заметим, что общий интеграл данного Д.У. можно получить иначе, если постоянную интегрирования записать в виде Тогда после интегрирования Д.У. общий интеграл примет вид (б) Таким образом, общий интеграл одного и того же Д.У. может иметь различную форму. Важно в любом случае доказать, что полученный Вами общий интеграл удовлетворяет данному Д.У.. Сделаем проверку для Д.У. №4 и покажем, что и форма (а), и форма (б) общего интеграла верна. Если в случае (а) общий интеграл , то продифференцировав по х обе части этого равенства, запишем систему: Исключив выражение , получим или Используя формулы: и получаем Д.У. В случае (б) общий интеграл Продифференцируем это равенство по х и исключим выражение, содержащее С, из системы.
Получим — то же уравнение, что и в случае (а). Найдём общее решение для Д.У.. №5. Умножив обе части уравнения на дробь получим уравнение с разделенными переменными или Интегрируя, получим общий интеграл Найдём частное решение Д.У.. №6. удовлетворяющее начальному условию Перенесём второе слагаемое в правую часть, вынесем за скобку множитель y и получим - Д.У. с разделяющимися переменными, для чего умножим на дробь Рассмотрим вначале нужный нам интеграл
Общий интеграл данного Д.У.: Используя известные свойства логарифмов, упростим форму общего интеграла Подставив начальное условие: х=0, у=1, найдём значение постоянной С: С=1. Искомый частный интеграл Проверка:
Подставим и в данное Д.У.: Упрощая, получим: Получено верное равенство, что доказывает, что решение было получено правильно.
|