Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Были рассмотрены дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и однородные и указаны способы их решения. Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и её производной.

Общий вид линейного Д.У.-I таков:

где и - непрерывные функции или постоянные. Если то уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнения:

1) Это уравнение является линейным по определению, но лучше рассматривать его как уравнение с разделяющимися переменными:

2) Это уравнение не является линейным, т.к. функция у присутствует в уравнении не в первой степени.

3) Это уравнение является линейным по определению, но проще рассматривать его как однородное Д.У.-I.

4) . Это уравнение является линейным. Записав его в виде получим

Способ решения линейного Д.У.-I: подстановка где — вспомогательные функции.

Покажем на примере, что любую функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых выбирается произвольно, а вторая зависит от этого выбора.

Пусть Можно представить в виде различных пар сомножителей:

где первый множитель выбирается произвольно.

Указанная подстановка приводит линейное Д.У.-I к решению двух Д.У. с разделяющимися переменными. Покажем это в общем виде.

В линейное уравнение

подставим

(1) В этом уравнении потребуем, чтобы

(2) Тем самым мы выбираем множитель причём без учёта произвольной постоянной.

Решив (2) – Д.У. с разделяющимися переменными, подставим найденную функцию в уравнение (1) и получим

(3) уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение позволит получить второй множитель Тогда — общее решение линейного Д.У.-I.

№9. Найдём общий интеграл уравнения

(1)

подставим в (1)

— общий интеграл.

Проверка. Запишем общий интеграл в виде:

Подставим в данное уравнение:

№10. Найти частное решение Д.У.

Данное линейное Д.У.-I решаем подстановкой

Рассмотрим вначале

Первый множитель получим из равенства или Эту функцию подставим в уравнение (1):

Сократив обе части уравнения, получим Отсюда

Общее решение данного Д.У.

Используя начальные условия у=0 при х=1, имеем Частное решение данного дифференциального уравнения

Попробуйте доказать правильность решения.

№11. Найти общее решение уравнения В таком виде данное уравнение нельзя решить известными нам способами. Запишем уравнение в виде

Если в последнем уравнении считать x функцией от у, то уравнение – линейное относительно функции Итак, решаем линейное Д.У.

(1)

Искомое решение

Замечание. Напомним, как следует искать Применяя формулу интегрирования по частям

Уравнения, приводящиеся к линейным (уравнения Бернулли)

Уравнение вида

называется уравнением Бернулли.

Здесь - действительное число, причём при получим уравнение с разделяющимися переменными, при получим линейное уравнение. При уравнение Бернулли приводится к линейному, решается как и линейное подстановкой Рассмотрим на примере:

№11. Определим тип этого уравнения. Легко увидеть, что переменные разделить нельзя: не представить в виде нужных нам множителей. Однородным это уравнение не является, т.к. из скобки не удаётся вынести после соответствующей замены Линейным это уравнение не является, т.к. содержит

Представим это уравнение в виде:

и можно утверждать, что это уравнение имеет общий вид т.е. является уравнением Бернулли относительно функции Решаем его подстановкой — вспомогательные функции. Подставим в исходное уравнение

Сгруппируем слагаемые, содержащие v (только в первой степени!):

Для получения общего интеграла найдём

или

- общий интеграл.

Подставим начальное условие и найдём С:

Частный интеграл имеет вид

Заметим, что неопределённый интеграл вычислен с применением формулы интегрирования по частям