Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка (Д.У. — II) содержит вторую производную некоторой функции, саму эту функцию, независимую переменную и первую производную

Д.У.-II можно записать в виде:

или

Определение. Общим решением Д.У. – II называется функция зависящая от двух произвольных постоянных такая, что

1) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных

2) каковы бы ни были начальные условия можно найти такие значения при которых функция удовлетворяет этим условиям.

Всякая функция, полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением Д.У. – II.

Заметим, что начальные условия для Д.У. – II представляют собой заданные значения функции и её производной при одном и том же данном значении независимой переменной х₀. Их обычно записывают: или или Т.е. задать начальные условия для Д.У. – II значит задать три числа:

Например, для Д.У. – II

общее решение

Убедимся в этом проверкой. Если то

Подставив в данное уравнение, получим

— верное равенство.

Найдём частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: Подставим в эти условия:

{

0= 2=3

Решив эту систему, получим значения для постоянных при которых из общего решения выделим искомое частное решение:

Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений второго порядка и способы их решения.