Непрерывные детерминированные модели (D-схемы)

1.1. Моторная лодка движется по озеру со скоростью 20 км/ч. Через 40 сек после выключения двигателя ее скорость уменьшается до 8 км/ч. Сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 2 минуты после выключения двигателя.

1.2. Найти время, в течение которого вся вода вытечет через отверстие радиуса r из конической воронки c высотой H и радиусом основания R. Известно, что скорость истечения жидкости из отверстия, находящегося на h м ниже свободного уровня жидкости, равна (σ – постоянный (безразмерный) коэффициент, зависящий от свойств жидкости). Сравнить время опорожнения сосуда для двух случаев: 1. Воронка опирается на основание конуса.

2. Воронка опирается на вершину конуса.

1.3. Пуля входит в доску толщиной h= 0,1 м со скоростью v₀= 200 м/с, а выходит, пробив ее, со скоростью v₁= 80 м/с_. Найти время движения пули в доске, принимая, что сила сопротивления доски пропорциональна квадрату скорости движения пули.

1.4. Тело массы m, находившееся в начальный момент в жидкости, погружается в нее под действием собственной силы тяжести без начальной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела. Найти закон движения тела.

1.5. В дне цилиндра имеется малое отверстие радиуса r, R, H - размеры цилиндра. Найти время полного опорожнения сосуда, если скорость истечения жидкости из отверстия, находящегося на h м ниже свободного уровня жидкости, равна (σ – постоянный (безразмерный) коэффициент, зависящий от свойств жидкости).

1.6. В резервуар, в котором находится 100 л 10%-ного раствора соли, каждую минуту вливается 30 л воды и выливается 20 л смеси. Какое количество соли останется в резервуаре через 10 мин, считая, что раствор непрерывно перемешивается?

1.7. Сила тяжести летчика с парашютом 800 Н. Сопротивление воздуха при спуске парашюта пропорциональна квадрату его скорости v с коэффициентом пропорциональности K= 400. Определить скорость спуска в зависимости от времени и установить максимальную скорость спуска.

1.8. Скорость увеличения площади молодого листа виктории-регии, имеющего форму круга, пропорциональна окружности листа и количеству солнечного света, падающего на него, которое, в свою очередь, пропорционально площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикально к листу. Найти зависимость между площадью листа и временем, если в 6 ч утра площадь листа была равна 1600 см², а в18 ч того же дня – 2500 см².

1.9. Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. При прохождении через слой толщиной 1 м поглощается ¼ первоначального светового потока. Какая часть светового потока дойдет до глубины h?

1.10. Цилиндрическая катушка изготовлена из медной проволоки. При прохождении через катушку электрического тока выделяется теплота. Вывести формулу для температуры установившегося режима как функции времени t.

1.11. Найти закон роста дерева любой породы, учитывая, что зрелое растение в процессе роста сохраняет геометрическое подобие. Свободную энергию растение получает в процессе фотосинтеза, которая возрастает пропорционально поверхности зеленой части дерева (коэффициент пропорциональности К1) и расходуется на процесс фотосинтеза пропорционально поверхности зеленой части дерева (коэффициент пропорциональности К2<К1), а также энергию на транспортировку питательного раствора во все части растения, пропорциональную объему растения и высоте растения (коэффициент пропорциональности К3), и на рост, пропорционально скорости роста (коэффициент пропорциональности К4).

1.12. Трансформатор представляет собой электрическую цепь, состоящую из двух контуров (обмоток), связанных индуктивно, коэффициент взаимоиндукции М (M²£L₁L₂):

Найти силы токов в первичной (i₁(t)) и вторичной (i₂(t)) обмотках в установившемся режиме, если напряжение источника тока изменяется по закону: u(t)=E sin(nt+j). Cчитая трансформатор идеальным (R1=R2=0, M²⁼L₁L₂), найти амплитуду падения напряжения на нагрузке R.

1.13. Электрический фильтр низких частот представляет собой электрическую цепь

Напряжение источника тока изменяется по закону: u(t)=E sin(nt+j). Найти падение напряжения на сопротивлении нагрузки R в установившемся режиме.

1.14.Последовательный колебательный контур представляет собой электрическую цепь

Напряжение источника тока изменяется по закону: u(t)=E sin(nt+j). Найти падение напряжения на сопротивлении нагрузки R в установившемся режиме.

1.15. Составить аналитическую модель в виде дифференциального уравнения первого порядка, выражающую зависимость температуры батареи отопления от времени, отсчитываемого от начального момента времени при следующих услови­ях: начальная температура тела Т равна температуре окружающей среды; батарея получает тепло со скоростью подачи , где - постоянная теплоемкость батареи; батарея отдает тепло окружающейсреде, и скорость охлаждения пропорциональна разности между температурами тела и среды.

1.16. Скорость роста популяций микроорганизмов пропорциональна их количеству и количеству питательного состава с коэффициентом пропорциональность . Питательный состав убывает со скоростью, пропорциональной начальному количеству микроорганизмов с коэффициентом пропорциональности . В начальный момент времени имелось А₀ питательных веществ. Разработать аналитическую модель, позволяющую выразить зависимость количества А микроорганизмов и питательного состава В от времени.

1.17. Зеркало отражает все лучи, выходящие из данной точки, параллельно заданному направлению. Определить форму зеркала.

1.18. Ветер, проходя через лес и испытывая сопротивление делревьев, теряет скорость. На бесконечно малом участке пути потеря пропорциональна скорости ветра в начале этого пути и его длине. Найти скорость ветра, прошедшего в лесу 150 м, если начальная скорость была 12 м/c и после прохождения 1м уменьшилась до 11,8 м/c.

1.19.Найти закон изменения общего количества организмов в колонии, если

1) условия идеальные, т.е. ресурсы неограничены и нет конкуренции, тогда прирост пропорционален количеству взрослых членов колонии;

2) условия конкурентные, т.е. ресурсы ограничены;

3) условия конкурентные и учитывается скрещивание организмов.

1.20. Найти плотность муравьёв вне муравейника, если основание муравейника – круг радиуса r и пространство однородно по распределению питательных веществ и проходимости, а муравьи переходят с места на место пока не найдут пищу или строительные материалы, и если не погибут по дороге, то принесут добычу в муравейник.