Колебания с 2-мя степенями свободы. Нормальные колебания (моды) и нормальные частоты. Примеры.

Если система обладает несколькими степенями свободы, то при малых отклонениях от положения равновесия возможны колебания сразу по всем степеням свободы. Обычный маятник может колебаться в двух взаимно перпендикулярных вертикальных плоскостях, проходящих через точку подвеса. Поэтому он имеет две степени свободы. Наличие связи различных степеней свободы между собой придает колебанию системы со многими степенями свободы новые физические закономерности.

X1 X2

Несмотря на сложность движения двух связанных маятников, оно всегда может быть представлено как суперпозиция четырех гармонических колебаний, частоты которых называются нормальными частотами связанной системы. Число нормальных частот равно числу степеней свободы. В приведенном примере имеем две степени свободы. И можно представить колебание как суперпозицию двух колебаний.

ωI S^I₁(t)=S20sin(ω_I*t+φ_I)

S^I₂(t)=S₁₀sin(ω_I*t+φ_I)

ωI, S^I20/S^I10=1 – первая мода

ωI=√(k/m)

ωII S^II₁(t)=S^II20*sin(ω_II*t+φ_II)

S^II₂(t)=S^II_10*sin(ω_II*t+φ_II)

ωII, S^II20 / S^II₁₀ = -1 – вторая мода

ωII=√((k+2k1)/m)

S₁(t)=S^I10*sin(ω_I*t+φ_I)+S^II10*sin(ω_II*t+φ_II)

S₂(t)=S^I20*sin(ω_I*t+φ_I)+S^II20*sin(ω_II*t+φ_II)

ωI,ωII, S^I20/S^I10, S^II20 / S^II₁₀ }à известны

Начальные условия S1(0), S1^'(0) S₂(0), S₂^'(0) } → S^I10 ; φ_I S^II10 ; φ_II

Если маятники отклонить одинаково в одну сторону, то они колеблются с некоторой частотой ω1, которая называется нормальной. Частота колебаний маятников, отклоненных одинаково в противоположных направлениях, является другой нормальной частотой ω2.

Если ω_I ≈ ω_II , |ω_I – ω_II | <<ω_I ≈ ω_{II ,} тогда отчетливо будут наблюдаться биения. Биение – колебание, которое происходит с медленной частотой и является суммой двух гармонических колебаний с близкими частотами. Это колебание с изменяющейся амплитудой. Оно лишь приблизительно гармоническое с частотой ω_I ≈ ω_II , а его амплитуда изменяется с частотой |ω_I – ω_II |. T_биен=2p/(ω_I – ω_{II ). Δ}ω=ω_I – ω_II <ω>=(ω_I +ω_II)/2 S₁(t)=2*S₁(t)*(cos( _Δω/2)t) *cos(<ω>t) S₂(t)=2*S₁(t)*(sin( _Δω/2)t) *cos(<ω>t).

Запас начальной кинетической и потенциальной энергий определяется из начального смещения и начальной скорости. Если бы потери энергии в системе отсутствовали, то этот начальный запас энергии оставался бы неизменным при колебаниях. Процесс колебаний сопровождался бы только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно, которые будут происходить в двое большей частотой, чем сами колебания.

U=kx² /2=kx²cos²(wt+p)/2=kX²(1+cos2(wt+p))/4;

Tk=mV²/4(1- cos2(wt+p))/4; формулы содержат двойную частоту, но изменения потенциальной и кинетической энергий происходят по гармоническому закону. Так как амплитуды смещения и скорости связаны соотношеннием V=wX; то полная энергия равна W=Tk+U=kX²/2=mV²/2;

При наличии трения , являющегося внешней силой, энергия колебаний уменьшается.

Добротноть. Для характеристики осциллирующей системы часто принимается величина Q называемая добротностью. Эта величина представляет собой умноженное на 2p отношение запасённой энергии к среднему значению энергии, теряемому за один период. Большим значениям Q соответствует слабое затухание осциллятора.Q=p/Q , где Q логарифмический декримент затухания.

Билет № 21.