Кривизна литосферы.

Воспользуемся упрощённой моделью земной поверхности, согласно которой Земля имеет вид сплюснутого эллипсоида

(x/Re) ² + (y/Re) ² + (z/Rp) ² = 1.

Кривизна гладкой трёхмерной поверхности выражается через кривизну линии. Нас будет далее интересовать только тот случай, когда линия задана параметрически x = j(t); y = y(t). В этом случае кривизна линии вычисляется по формуле

k = 1/R = (x'y' - y'x')/(x' ² + y' ²)3/2.

Гениальный математик всех времён и народов Леонард Эйлер показал, что нормальная кривизна линии, проходящей через точку поверхности зависит от её направления; существуют два перпендикулярных направления, называемых главными, характеризующиеся двумя экстремальными значениями кривизны: максимальным и минимальным, называемые главными. Нормальная кривизна произвольной линии, проходящей по поверхности удовлетворяет уравнению Эйлера

k = k1 cos2j + k2 sin2j ,

где j — угол, образуемый линией с главным направлением для кривизны k1.

Ввиду симметрии эллипсоида вращения (он переходит сам в себя при отражении зеркале, когда плоскость зеркала проходит через ось вращения) одно из главных направлений проходит в направлении меридиана, следовательно, другое проходит перпендикулярно ему. Теперь мы можем вычислить кривизну литосферы в любой её точке. Полагая у = 0, получаем эллипс, проходящий в меридианальном направлении

x = Re sinq,

z = Rp cosq.

Пользуясь формулой для вычисления кривизны, получаем

R1(q) = (Re2sin2q + Rp2cos2q) ^3/2/RpRe.

Эта формула небезынтересна. До этого мы, не задумываясь, полагали, что Rp — это радиус кривизны Земли в районе полюса, но в действительности это не так; Rp = 6356863 метров — это всего только расстояние от полюса до центра Земли, тогда как радиус кривизны следует вычислить, полагая в R1(q) величину q = 90^o

R1(90^o)= (Re) ²/Rp = 6399699 метров,

соответственно, на экваторе

R1(0^o)= (Rp) ²/Re = 6335552 метров.

Для вычисления второго радиуса кривизны нам следует рассмотреть эллипсоид, возникающий при пересечении поверхности Земли плоскостью, проходящей перпендикулярно Гринвичскому меридиану, но для упрощения выкладок мы заменим её на ближайшую к ней плоскость, проходящую через центр Земли. Получающийся в этом случае эллипс

y = Re siny,

z = Rq cosy,

где Rq2 = (Re sinq) ² + (Rp cosq) ², подобен тому, который мы только что рассматривали (в новом эллипсе Rq играет роль Rp, а y — играет роль q), благодаря этому мы можем записать

R2(y) = (Re2sin2y + Rq2cos2y) ^3/2/RqRe.

Нас будет далее интересовать только один радиус кривизны на этом эллипсе — R2(0), который является фактически вторым главным радиусом R2(q)

R2(q)= (Rq) ²/Re.

Радиус второй главной кривизны изменяется от (Rp) ²/Re = 6335552 метров, на полюсе, до (Re) ²/Re = 6378245 метров, на экваторе, то есть полюс — это наиболее плоская точка литосферы (R1 = R2 = 6399,699 км), а экватор, наоборот, зона в которой литосфера сильнее всего искривлена (R1 = 6335,552 км; R2 = 6378,245 км), поэтому при проходе зон, расположенных недалеко от полюса, через экватор в твёрдом объёме литосферы возникают огромные объёмные напряжения, производящие объёмные деформации, внутренние разрывы, о чём мы и будем далее говорить.