Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x, y и z:

. (12.4)

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например , перепишем уравнение (12.4) в виде

(12.5)

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнениями плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку .

Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Если , то оно принимает вид . Этому уравнению удовлетворяет точка . Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.

2. Если , то имеем уравнение . Нормальный вектор перпендикулярен оси . Следовательно, плоскость параллельна оси ; если В = 0 – параллельна оси Оу, А = 0 – параллельна оси Ох.

3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через параллельно оси Oz. Аналогично, уравнениям и отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Охи Оу.

4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид , т.е. . Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично уравнениям и отвечают плоскости, соответственно параллельные плскостям Оyz и Oxz.

5. Если , то уравнение (12.4) примет вид , т.е. . Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: – уравнение плоскости Oxz; – уравнение плоскости Оyz.