Параллельными координатным осям. Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям и

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям и и полуоси соответственно равны и . Поместим в центре эллипса начало новой системы координат оси которой

и параллельны соответствующим осям и и одинаково с ними направлены (см. рис. 63).

В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид

Так как , (формулы параллельного переноса, см. с. 52), то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в виде

Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями а и b (см. рис. 64):

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответствующие уравнения.

Уравнение

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнений в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

,(11.14)

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.

Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс (А ∙ С = 4∙5 > 0).

Действительно, проделаем следующие преобразования:

,

, .

Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями и .

Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,

,

, .

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и .

Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением (А ∙ С = - 4 < 0).

Решение: Преобразуем уравнение:

,

,

,

.

Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые и .