Степенные ряды. Первая теорема Абеля

Т: Пусть — степенной ряд с комплексными коэффициентами и радиусом сходимости .

Если ряд является сходящимся, тогда:

.

Доказательство

Заменой переменных , можно считать . Также (необходимым подбором ) можно предположить . Обозначим частичные суммы ряда . Согласно предположению и нужно доказать, что .

Рассмотрим . Тогда (приняв ):

Отсюда получается .

Для произвольного существует натуральное число , что для всех , поэтому:

Правая часть стремится к когда стремится к 1, в частности она меньше при следовании к 1.

Необходимое условие экстремума

Признак сравнения рядов в предельной форме

Если и есть строго положительные ряды и

,

то при из сходимости следует сходимость , а при из расходимости следует расходимость .