Доказательство.

Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда и .

Первая последовательность убывает: по первому условию.

По тому же условию вторая последовательность возрастает: .

Первая последовательность мажорирует вторую, а именно, для любых имеет место неравенство

поэтому они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.

Осталось заметить, что , поэтому они сходятся к общему пределу , который и является суммой исходного ряда.

Попутно мы показали, что для любой частичной суммы ряда имеет место оценка .

10. Интеграл с параметром. Непрерывность

Пусть в двумерном евклидовом пространстве задана область , на которой определена функция двух переменных.

Пусть далее, .

Функция и называется интегралом, зависящим от параметра.

Пусть функция непрерывна в области как функция двух переменных. Тогда функция непрерывна на отрезке .

Доказательство[скрыть]

Рассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра.

.

По теореме Кантора, непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть

.

Следовательно, при , что и означает непрерывность функции

11. бета-функцией ( -функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

,

определённая при , .