Критерий Коши равномерной сходимости

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости):

Ряд равномерно сходится на

Доказательство:

Пусть ряд равномерно сходится. , где — сумма ряда. Тогда По определению равномерной сходимости, . В силу предыдущего неравенства, , то есть, выполняется условие критерия Коши. Пусть выполняется условие критерия Коши. для выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда. По условию критерия Коши, Как и в первой половине доказательства, , но . В неравенстве с можно подставлять любой фиксированный . Устремим : Значит, определение равномерной сходимости проверено.

[править]Признак Вейерштрасса

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)

Можно рассматривать и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):

, , , — сходится. Тогда равномерно сходится на .

Доказательство:

Применим критерий Коши: Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно , . Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.

[править]Признак Абеля-Дирихле

Теорема (Абель-Дирихле):

Для равномерной сходимости на множестве ряда , и достаточно, чтобы выполнялась пара условий : 1)Частичные суммы ряда равномерно ограничены на ; 2)Последовательность функций монотонна и сходится к нулю на .

Доказательство:

Монотонность последовательности позволяет при каждом записать оценку: где и в качестве возьмем . Если выполнена пара условий 1) и 2), то с одной стороны существует такая постоянная ,что при любом и любом , а с другой стороны, какого бы ни было число , при всех достаточно больших значениях и и любом будет выполнено неравенство . Значит, что при всех достаточно больших значениях и и любом будет , т.е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.

Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

Теорема. Если все члены ряда (1) - непрерывные на [a;b] ф-ции, а ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [a;b].

Док-во: Пусть - произв.точка [a;b]. Для опр-ности будем считать, что (a;b). Нужно док-ть, что S(x)= непрерывна в , т.е < (2), [a;b]. По усл-ю, ряд (1) равномерно сх-ся на [a;b], т.е n [a;b] < (3), где = .Фиксируем номер , тогда при n= из (3) получаем: < (4). В частности, при x= находим < (5). Ф-ция (x) непрерывна в как сумма конечного числа непрерывных ф-ций. По опр-ю непрерывности [a;b] < (6). Восп. рав-вом S(x)-S( )=(S(x)- (x))+( (x)- ( ))+( ( )-S( )). Отсюда получаем, исп. (4)-(6) и нер-во треугольника : < , для [a;b], т.е справедливо утв-е (2). В силу произвольности точки ф-ция S(x) непрерывна на отрезке [a;b].

2. Радикальный признак Коши (сходимости числового ряда):

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.