Признак Вейерштрасса

Рассмотрим ряд:

Пусть существует последовательность такая, что для любого выполняется неравенство , кроме того, ряд сходится. Тогда ряд сходится на множестве абсолютно и равномерно.

Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.

14. Гамма-функция. Элементарные свойства

Если вещественная часть комплексного числа положительна, то Гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл

Основное свойство гамма-функции это её рекуррентное уравнение

которое, при фиксированном начальном условии, единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию. Теорема о единственности.
Для Г-функции справедлива формула дополнения Эйлера:

.

И формула умножения Гаусса:

Частный случай которой при n=2 был получен Лежандром:

Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости. является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюса в точках Гамма-функция имеет полюс первого порядка в для любого натурального и нуля; вычет в этой точке задается так

.

Основное, но полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:

.

Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и , где часто называют «пси-функцией», или дигамма-функцией. Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

.

15. Обобщения формулы Лагранжа. (Теорема Коши)

Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале (a,b), причем во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка такая, что .