Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Параллельными координатным осям




Читайте также:
  1. Параллельными координатным осям

 

x
О
y
a
b
Рис. 63
Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям и и полуоси соответственно равны и . Поместим в центре эллипса начало новой системы координат оси которой


и параллельны соответствующим осям и и одинаково с ними направлены (см. рис. 63).

В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид

 

 

Так как , (формулы параллельного переноса, см. с. 52), то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в виде

Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями а и b (см. рис. 64):

O
х
у
х

 

 


И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответствующие уравнения.

 


О
y
О
x
y
О
x
y
О
x
y
Рис.65.

 


Уравнение

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнений в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

,(11.14)

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Теорема 11.2.Уравнение (11.14) всегда определяет либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А∙С > 0), либо гиперболу (при А∙С < 0), либо параболу (при А∙С = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку, для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.



 

 

 


Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

 

Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс (А ∙ С = 4∙5 > 0).

Действительно, проделаем следующие преобразования:

 

,

, .

Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями и .

 

Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

 


Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,


,

, .

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и .

 

 

Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением (А ∙ С = - 4 < 0).

 


Решение: Преобразуем уравнение:

,

,

,

.

Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые и .


Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 14; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.018 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты