КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Параллельными координатным осям
Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке  , оси симметрии которого параллельны координатным осям  и  и полуоси соответственно равны  и  . Поместим в центре эллипса  начало новой системы координат  оси которой
 и  параллельны соответствующим осям и и одинаково с ними направлены (см. рис. 63).
В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид
Так как  ,  (формулы параллельного переноса, см. с. 52), то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в виде
Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями а и b (см. рис. 64):
  х
|
И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 65, имеют соответствующие уравнения.
  
Уравнение 
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности  после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнений в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида
 ,(11.14)
где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.
| Теорема 11.2.Уравнение (11.14) всегда определяет либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А∙С > 0), либо гиперболу (при А∙С < 0), либо параболу (при А∙С = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку, для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых.
| Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.
Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением  .
Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс (А ∙ С = 4∙5 > 0).
Действительно, проделаем следующие преобразования:
 ,
 ,  .
Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в точке  и полуосями  и  .
Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением  .
Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,
 ,
 ,  .
Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке  и  .
Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением  (А ∙ С = - 4 < 0).
Решение: Преобразуем уравнение:
 ,
 ,
 ,
 .
Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые  и  .
|
