Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Степенные ряды. Теорема Абеля.

Читайте также:
  1. II закон термодинамики. Теорема Карно-Клаузиуса
  2. II. (Теорема Больцано-Вейерштрасса).
  3. Б) теория фирмы и транзакционных издержек. Теорема Р.Г.Коуза (1910)
  4. Вариационные ряды. Генеральная совокупность и выборка
  5. Второстепенные чести формулы.
  6. Движение тела в неинерциальных системах отсчета. Теорема Кориолиса. Силы инерции.
  7. Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
  8. Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.
  9. Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
  10. Кинетическая энергия тела, системы тел при их поступательном движении. Теорема о кинетической энергии. Теорема Кенига.

Ответ:Функциональные ряды вида: , где cn (n=1,2,…) и a–заданные комплексные числа, -комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа cn -коэффициентами степенного ряда (1). Полагая в (1) z= -a, получим ряд (2), исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (1). Теорема 1 (Абеля) . Если степенной ряд (2) сходится при z= 0 , то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что |z|<|z0|; а если этот ряд расходится при z=z1 0, то он расходится при всяком z, для которого |z|>|z1|. а)Пусть k0 ={z: | z|<|z0|}- круг на комплексной плоскости с центром в точке О радиуса |z0|, и пусть z – произвольная точка круга k0, т.е. |z|<|z0| , поэтому q=|z/z0|<1. (3) Так как ряд (2) сходится в точке z0, то должно выполняться условие , откуда следует ограниченность последовательности { },т.е. M. Используя неравенство (3) и (4), получаем| |=| |*| z/ M , где (5). Так как ряд , где , сходится, то по признаку сравнения сходится ряд ,т.е. ряд (2) сходится абсолютно в каждой точке круга k0. б)Пусть ряд (2) расходится в точке . Тогда он должен расходиться в любой точке такой, что |z1|<| |, так как в противном случае по доказанному выше ряд (2) сходился бы в точке z1. Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R( -число или такое, что: а)если и , то ряд (2) абсолютно сходится в круге К={z: |z|<R}и расходится вне круга K; этот круг называют кругом сходимости ряда (2), а R-радиусом сходимости ряда; б)если R=0, то ряд (2) сходится в одной точке z=0; в)если , то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости. Теорема 3 (Абеля). Если R-радиус сходимости степенного ряда (2), причем , и если этот ряд сходится z=R, то он сходится равномерно на отрезке [0,R], а его сумма непрерывна на этом отрезке. Теорема 4. Если существует конечный или бесконечный , то для радиуса R сходимости ряда (2) справедлива формула 1/R= , а если существует конечный и бесконечный , то R= . 0, .


Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 13; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Интегральный признак сходимости ряда. | Интервал сходимости, радиус сходимости степенного ряда.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2020 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты