Метод Циглера-Николса

Особенностью процессов регулирования давления, расхода, уровня, температуры является апериодичность переходных процессов и запаздывание. Простейшей обобщённой моделью таких объектов является передаточная функция

к

W(p) = exp (-tp).

( р + 1/T )

Для управления такими объёктами обычно используется ПИД-регулятор, особенно тогда, когда Т > ( 5 …. 10)t. Расчёт параметров регуляторов можно выполнить, используя метод Циглера-Николса.

В этом методе используются время запаздывания t и передаточный коэффициент к. Правила настройки регуляторов состоят из двух шагов.

На первом регулятор рассматривают как пропорциональный и определяют предельный коэффициент передачи разомкнутого контура к_ПР, когда система находится на границе устойчивости и совершает незатухающие колебания с периодом Т^* = 2p/w.

На втором этапе определяют параметры регуляторов по правилам:

- для П-регулятора к_Р = 0,5к_ПР;

- для ПИ-регулятора к_Р = 0,45к_ПР, Т_И = 0,83Т^*;

- для ПИД-регулятора к_Р = 0,6к_ПР, Т_И = 0,5Т^*, Т_Д = 0,125Т_Д.

Показатели к_ПР и Т^* находятся расчётным путём с использованием частотного годографа Найквиста из условия W(jw_CP) = -1.

Параметры регулятора могут быть определены и по экспериментально снятой кривой переходного процесса:

- для П-регулятора к_Р = 1/(tк);

- для ПИ-регулятора к_Р = 0,9/(tк), Т_И = 3,3t;

- для ПИД-регулятора к_Р = 1,2/(tк), Т_И = 2t, Т_Д = 0,5t.

Квадратичный функционал () допускает его минимизацию в частотной

области. Если х_э(t) - эталонный переходный процесс (например, экспонента), а h(t, a) - реальный переходный процесс, зависящий от неизвестного параметра регулятора а, то невязка

e(t) = x_э(t) - h(t, a)

и функционал качества

_¥

Ј(t, a) = òe²(t)dt ® min.

⁰

Требуется определить структуру и настроечные параметры регулятора, если на входе системы действует единичное входное ступенчатое воздействие.

Подинтегральное выражение можно преобразовать по Фурье и записать точную формулу для значения интеграла ( ), явно зависящей от вектора параметров а₁, а₂, ..., а_r., т.е Ј(a) = Ј (a₁, a₂, ..., a_r). Для нахождения его минимума необходимо продифференцировать () по каждому из параметров а_i и приравнять полученные выражения к нулю

¶J/¶a₁ = 0; ¶J/¶a₂ = 0; ...; ¶J/¶a_r = 0.

В результате получаем систему алгебраических уравнений, решая которую определяем вектор оптимальных настроек регулятора

а^* = (a₁^*, a₂^*, ..., a_r^*).

Можно использовать и какой-либо метод минимизации функций нес- кольких переменных.

Расчёт оптимальных настроек регулятора можно проводить по расширенным частотным характеристикам объекта [ ]. В качестве критерия используется равенство

W_pk(m, jw) = W₀(m, jw) W_P(m, jw) + 1,

где W_pk(m, jw) , W₀(m, jw), W_P(m, jw) - расширенные комплексные частотные характеристики разомкнутого контура, обьекта и регулято- ра; p = -mw + jw.

Критерий ( ) позволяет получить расчётные формулы для определения в пространстве параметров настройки регулятора границы устойчивости (m = 0) и линий заданного запаса устойчивости m = const. Последние гарантируют отсутствие составляющих свободного решения со степенью затухания меньше заданного.