Модели второго порядка

Приближённую оценку прямых показателей качества удобно осуществлять на основе гипотезы об эквивалентности динамических свойств реальной замкнутой системы W (p) свойствам колебательного звена второго порядка с передаточной функцией

к

W_М (p) = ,

Т² р² + 2 ξ Т р + 1

при x £ 0,7 и передаточным коэффициентом к = 1 для астатических и близким к единице для статических систем. При этом частотные характеристики системы и модели должны совпадать на нулевой частоте, резонансной и в рабочем диапазоне частот.

Если Т₁/к = Т² , 1/к = 2xТ, то это колебательная модель второго порядка.

Такой подход позволяет оценивать динамические свойства реальных систем по приближённым формулам

s @ 0,2 sqrt(кТ₁); t_p @ 6T₁; M @ 1,1 sqrt(кТ₁); Dj @ 0,2/s;

w_p @ sqrt (кТ₁ – 0,5) /T₁.

Эти формулы обеспечивают достаточную для инженерных расчетов точность оценки качества реальной системы.

Если реальная система астатическая и содержит одно идеальное интегрирующее и n апериодических звенев первого порядка с коэффициентами передачи к_i и постоянными времени Т_i , то

к

W (p) = ,

р(Тр + 1)

_{n n}

где к = П к_i ; T = å T_i .

^{i =1 i=1}

Будем считать, что входное воздействие или нагрузка изменяется по закону степенной функции х_З(t) = Аt^q, где q = 0, 1, 2, … - показатель степенного воздействия. При q = 0 получаем ступенчатое входное воздействие, если q =1, то линейно возрастающий сигнал. Сравнение этого показателя с астатизмом системы γ = γ_Р + γ_О позволяет сформулировать следующие правила:

- если порядок астатизма γ = q, то система в установившемся режиме имеет ошибку воспроизведения ε_З = Аq!/ k = const;

- постоянная ошибка подавления ε_В , возникающая в установившемся режиме при q = γ_Р, где γ_Р – порядок астатизма регулятора, обратно пропорциональна передаточному коэффициенту регулятора;

- если порядок астатизма регулятора γ_Р > q, то установившиеся значения ошибок по заданию и по возмущению в установившемся режиме равны нулю;

- если порядок астатизма γ < q, то эти ошибки стремятся к бесконечности ;

- точность воспроизведения системой управления задающего воздействия и точность подавления ею внешних воздействий тем лучше, чем больше передаточный коэффициент регулятора.