На устойчивость

Системы, неустойчивые при любых значениях параметров, называются структурно-неустойчивыми. К таким звеньям относятся

- интегрирующее звено W(p) = 1/p;

- неустойчивое статическое звено первого порядка W(p) = к/(Tp – 1);

- идеальное колебательное звено W(p) = к /(T² p² + 1)

и ряд других звеньев. Её можно сделать устойчивой, изменив структуру.

ПРИМЕР: определить передаточную функцию интегрирующего звена, охваченного жесткой отрицательной обратной связью (рис. 6.10).

х_вх 1 х_вых

р

-

Рис.6.10

Передаточная функция звена, охваченного единичной отрицательной обратной связью, определяется по выражению

W_p(p) 1/p 1

W_з (p) = = = .

1 + W_p(p) 1 + 1/p 1 + p

Следовательно, получили абсолютно устойчивое апериодическое звено первого порядка.

Широко применяемый в промышленности ПИ-закон регулирования соответствует последовательному соединению проапорционального и идеального интегрирующего звена

к_и

W(p) = к_p + .

р

Поэтому влияние этого закона на устойчивость двоякое: при больших значениях коэффициента интегральной составляющей к_и устойчивость хуже, при больших значениях коэффициента к_р – лучше.

Для одноконтурных систем, в которых нет форсирующих звеньев, получено условие структурной устойчивости в виде двух неравенств

q + t < 2 4r <n,

где q – число идеальных интегрирующих, t – число неустойчивых и r – число консервативных звеньев АСР; n – порядок системы.

Для систем со статическими неперекрёстными обратными связями установлено правило: если все контуры системы структурно устойчивы, то и сама система структурно-устойчива. Для остальных систем условия структурной устойчивости не найдены.

Рассмотрим влияние передаточного коэффициента разомкнутого контура на устойчивость замкнутой системы. Учтём, что для одноконтурных систем коэффициент к входит в выражение амплитудно-фазовой частотной характеристики W(jw) как множитель

W(jw) = к H(jw) / D (jw) .

Это означает, что длина вектора W(jw) при всех значениях w пропорциональна коэффициенту к. При его увеличении АФЧХ расширяется и прибближается к критической точке (-1, j0). Следовательно, увеличение к приводит к ухудшению устойчивости системы.

ПРИМЕР:для системы с передаточной функцией

K

W(p) =

T₁ T₂ T₃ p³ + (T₁ T₂ + T₂ T₃ + T₁ T₃)p² + (T₁ + T₂ + T₃)p + K + 1

определить значение предельного (критического) передаточного коэффициента.

В соответствии с критерием Гурвица для систем третьего порядка должно выполняться следующее условие:

(T₁ T₂ + T₂ T₃ + T₁ T₃) (T₁ + T₂ + T₃) - T₁ T₂ T₃ (K + 1) > 0 .

Следовательно,

К_КР = (1/T₁ + 1/T₂ + 1/T₃)(T₁ + T₂ + T₃)

В существовании предельного коэффициента передачи к_пр можно убедиться и с помощью критерия Михайлова. Для статических систем а_n = 1 + к, а для астатических а_n = 1. Очевидно, что при некотором предельном значении а_n , и , следовательно, коэффициенте к_пр , кривая Михайлова пройдёт через начало координат, т.е. система будет на границе устойчивости (рис.6.11).

Критическим значением последнего называется такое его значение, при котором АФЧХ разомкнутого контура проходит через критическую точку (1, j0) и система находится на границе устойчивости (рис. 6.12).

Рис. 6.12

Для характеристики степени удаления системы от границы устойчивости вводятся понятия о запасах устойчивости.

Запасом устойчивости по амплитуде называется величина

DА = 1 – А(w_p)

или DL = 20 lg A(w_p), где w_p - частота, на которой фазовая характеристика равняется ± 180⁰ (рис. 6.13).

Рис. 6.13

Запасом устойчивости по фазе D j(w_С) называется угол, на который нужно повернуть АФЧХ разомкнутой системы, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости

D j(w_С) = 180⁰ - j(w_С) , где j(w_С) – значение ФЧХ на частоте среза w_С

[т.е. на частоте, где А(w) = 1].

Для удовлетворительной работы системы часто принимают DL = 10-15 децибел и D j(w_С) = 30⁰ – 60⁰, хотя в отдельных случаях значения запасов по амплитуде и по фазе могут и отличаться от этих значений.