Метод стандартных передаточных функций

Стандартная передаточная функция (СПФ) разомкнутого контура W_СТ(р) обладает необходимым порядком астатизма и включает параметр а₀ = r₀/t_p, который обеспечивает заданное быстродействие через константу r₀, причём последняя берётся из табл. 9. Величина перерегулирования s% обеспечи-

Таблица 9

Относительное время переходного процесса r₀ = a₀ t_p .

вается подбором коэффициентов СПФ. Считается, что передаточная функция неизменяемой части W_H(p) известна, а точность управления, время регулирования t_p и величина перерегулирования s% заданы. Структуру корректирующего устройства W_КУ(р) определяют из равенства

W_H(p) W_КУ(р) = W_СТ(р),

откуда

W_КУ(p) = W^-1 _Н(р) * W_СТ(р),

или выбирают на основе опыта эксплуатации подобных систем. В некоторых случаях удается добиться полного выполнения равенства.

Реакция замкнутой системы на входное воздействие определяется распределением корней числителя (нулей) и знаменателя (полюсов) передаточной функции. Очевидно, что может быть найдено некоторое "оптимальное" распределение их на комплексной плоскости, при котором переходная функция будет наилучшей с точки зрения динамики рассматриваемой системы. Каждому такому распределению соответствует и вполне определённые значения коэффициентов передаточной функции, которые называются стандартными.

Пусть характеристический полином замкнутого контура представлен в виде

G(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n .

Приведём его к виду

G(p) = pⁿ + A₁w₀ p^n-1 + ... + A_n-1w₀^n-1p + w₀ⁿ,

где w₀ = (a_n/a₀) - собственная частота системы;

A₁ = a₁/(a₀ w); A₂ = a₂/(a₀ w₀²); ...; A_n-1 = a_n-1/(a₀ w₀ⁿ.

При этом нормированное значение длительности переходного процесса τ и время регулирования реальной t_p системы связаны соотношением

ω₀ = τ / t_p .

В качестве типовых можно взять передаточные функции

W(p) = w₀ⁿ/(pⁿ + A₁w₀ p^n-1 + A₂w₀² p^n-2 + ... + A_n-1w₀^n-1p + w₀); *

W(p) = w₀ⁿ/(p² + 2x w₀ p + w₀²)^n/2; **

W(p) = ( A_n-2w₀^n-2 p² + A_n-1w₀^n-1p + w₀ⁿ)/

/(pⁿ + A₁w₀ p^n-1 + A₂w₀² p^n-2 + ... + A_n-1w₀^n-1p + w₀). ***

Если все корни полинома знаменателя вещественные отрицательные разные, то переходный процесс монотонный, без перерегулирования. Наименьшее время регулирования будет, если все корни кратные. В этом случае коэффициенты А₁, А₂, ..., А_n-1 являются коэффициентами бинома Ньютона (р + 1)ⁿ. При x = 0,707 корни комплексные сопряжённые, переходная функция с небольшим перерегулированием и сокращается время регулирования. Если передаточная функция имеет нули, то для уменьшения выброса переходной характеристики рекомендуется распологать корни полинома знаменателя на отрицательной вещественной полуоси по арифметмческой ( если один нуль) или геометрической прогрессии (если два нуля). Приведённые в табл. 10 стандартные передаточные функции замкнутых систем обеспечивают оптимальные переходные процессы.

Таблица 10

В более сложных случаях приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях р числителя и знаменателя равенства и получают систему нелинейных алгебраических уравнений. Как правило, она переопределена и может быть решена методом наименьших квадратов.