Уравнениями в форме Коши

Метод применяется для исследования устойчивости нелинейных систем по линеаризованным уравнениям для малых вариаций переменных.

Применим первый метод Ляпунова к дифференциальным уравнениям в пространстве состояний нелинейных систем.

Пусть динамическая система описывается уравнением

(5.39)

где x - вектор состояния, - вектор-функция.

Обозначим через x*вектор координат исследуемого положения равновесия, т.е. решение системы уравнений , и положим, что функция допускает разложение в ряд Тейлора в точке x*. Пренебрегая малыми высшего порядка по сравнению с малыми вариациями x, получим вместо уравнения (5.39) линеаризованную систему

, (5.40)

где -

- матрица первых производных нелинейной функции (матрица Якоби), вычисляемых в точке равновесия x=x* (рис.5.20).

Рис.5.20. Линеаризация в окрестности положения равновесия

Согласно первому методу Ляпунова об устойчивости “в малом” положения равновесия нелинейной системы можно судить по результатам анализа линеаризованной системы:

· если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, т.е. линеаризованная система устойчива асимптотически, то положение равновесия устойчивое;

· если линеаризованная система неустойчива, то положение равновесия неустойчивое.

Первый метод Ляпунова имеет следующие недостатки:

· исследуется только устойчивость «в малом»;

· применим только для систем, линеаризуемых в окрестности положения равновесия.

Если требуется провести линеаризацию уравнения движения системы относительно опорной траектории , являющейся решением уравнения

(5.41)

при некотором входном сигнале и начальных условиях ,

т.е. (5.42)

то поведение x(t) нелинейной системы в окрестности опорной траектории может быть представлено с помощью отклонений (вариаций) x(t) от опорной траектории: (5.43)

Подставляя (5.43) в (5.41), имеем

, (5.44)

где - вариация внешних воздействий,

Разложим функцию F в ряд Тейлора в окрестности опорной траектории, ограничимся членами только первого порядка (линейными членами) и вычтем (5.42) из (5.44), получим, что вариации x(t) описываются системой линейных уравнений:

, (5.45)

,

где и - матрицы частных производных вектор-функции F(t,x,r) по соответствующим аргументам,

Дальнейший анализ нелинейной системы в окрестности опорного режима проводится методами анализа линейных систем, применяемыми к уравнениям в вариациях (5.45).