КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Уравнениями в форме Коши
Метод применяется для исследования устойчивости нелинейных систем по линеаризованным уравнениям для малых вариаций переменных. Применим первый метод Ляпунова к дифференциальным уравнениям в пространстве состояний нелинейных систем. Пусть динамическая система описывается уравнением (5.39) где x - вектор состояния, - вектор-функция. Обозначим через x*вектор координат исследуемого положения равновесия, т.е. решение системы уравнений , и положим, что функция допускает разложение в ряд Тейлора в точке x*. Пренебрегая малыми высшего порядка по сравнению с малыми вариациями x, получим вместо уравнения (5.39) линеаризованную систему , (5.40) где - - матрица первых производных нелинейной функции (матрица Якоби), вычисляемых в точке равновесия x=x* (рис.5.20).
Рис.5.20. Линеаризация в окрестности положения равновесия
Согласно первому методу Ляпунова об устойчивости “в малом” положения равновесия нелинейной системы можно судить по результатам анализа линеаризованной системы: · если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, т.е. линеаризованная система устойчива асимптотически, то положение равновесия устойчивое; · если линеаризованная система неустойчива, то положение равновесия неустойчивое. Первый метод Ляпунова имеет следующие недостатки: · исследуется только устойчивость «в малом»; · применим только для систем, линеаризуемых в окрестности положения равновесия. Если требуется провести линеаризацию уравнения движения системы относительно опорной траектории , являющейся решением уравнения (5.41) при некотором входном сигнале и начальных условиях , т.е. (5.42)
то поведение x(t) нелинейной системы в окрестности опорной траектории может быть представлено с помощью отклонений (вариаций) x(t) от опорной траектории: (5.43) Подставляя (5.43) в (5.41), имеем , (5.44) где - вариация внешних воздействий, Разложим функцию F в ряд Тейлора в окрестности опорной траектории, ограничимся членами только первого порядка (линейными членами) и вычтем (5.42) из (5.44), получим, что вариации x(t) описываются системой линейных уравнений: , (5.45) , где и - матрицы частных производных вектор-функции F(t,x,r) по соответствующим аргументам, Дальнейший анализ нелинейной системы в окрестности опорного режима проводится методами анализа линейных систем, применяемыми к уравнениям в вариациях (5.45).
|