![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теорема Ляпунова (второй метод) о неустойчивости нелинейных систем.Поскольку кроме области устойчивости нелинейная система может иметь целый ряд особых областей, то возникает потребность в отдельном определении области неустойчивости путем использования теоремы Ляпунова, которая дает достаточные условия неустойчивости систем.
Формулировка теоремы: “Если при заданных в форме Коши уравнениях системы n-ого порядка производная Справедливость этой теоремы может быть проиллюстрирована так же, как и в предыдущем случае. Второй метод Ляпунова универсален, так как не связан с линеаризацией уравнений движения и не накладывает особых ограничений на их правые части. Однако применение этого метода осложняется двумя причинами: · достаточным характером утверждений, то есть если условия метода не выполнены, то об устойчивости положения равновесия ничего сказать нельзя, можно только порекомендовать подобрать другую функцию V(х); · отсутствием общих рекомендаций по выбору функций Ляпунова. Обычно функцию V(x) выбирают квадратичной формы
(5.53) где Н - положительно-определенная матрица. Это выражение для n=2 раскрывается так:
Для установления положительной определенности матрицы Н можно воспользоваться критерием Сильвестра, сводящимся к проверке положительности диагональных определителей матрицы. Например, для n=2 условия записываются так:
Недостатком функции V(x) является то, что она не учитывает особенностей нелинейных систем. Если статическая характеристика F( · функция однозначна и непрерывна; · F(0)=0; ·
Пример 5.7. Пусть линейная часть системы, приведенной к расчетному виду, имеет передаточную функцию а нелинейный элемент удовлетворяет приведенным выше требованиям. При отсутствии воздействия (r=0) положению равновесия системы соответствует x=0. Дифференциальное уравнение системы первого порядка в форме Коши запишется так (примем
Выберем функцию Ляпунова в следующем виде
Продифференцируем эту функцию по времени в силу дифференциального уравнения системы: Получили отрицательно-определенную функцию W(x), что позволяет сделать вывод об асимптотической устойчивости положения равновесия. Так как функция (5.57) определена для всех x и при Пример 5.8. В примере 5.3 заключение об устойчивости нелинейной системы по теоремам Ляпунова первого метода не принято. Воспользуемся вторым методом Ляпунова. Выберем скалярную функцию переменных состояния в виде квадратичной формы: и продифференцируем по времени в силу дифференциальных уравнений системы: Получили отрицательно-определенную функцию, что означает асимптотическую устойчивость положения равновесия. Поскольку при
|