Критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова

Рассматривается замкнутая система с одним нелинейным звеном.

Система называется асимптотически устойчивой, если при ненулевых ограниченных начальных условиях свободное движение y(t) ограничено при t є [0,∞) и lim y(t)=0 (t→∞).

Если окажется, что это свойство выполняется для любых нелинейных элементов из некоторого класса, то устойчивость называется абсолютной.

Теорема В.М. Попова.

Пусть выполняются условия:

1) все полюсы передаточной функции линейной части системы имеют отрицательные действительные части;

2) характеристика нелинейного элемента принадлежит сектору [0,k],

т.е. F(0)=0, 0 ≤ F(ε) / ε ≤ k при всех ε≠0 (рис.5.23);

3) существует действительное число q такое, что при всех ω є [0,∞)

выполняется неравенство

Re [(1+jωq)W(jω)]+1/k = u(ω)-qωυ(ω)+1/k >0,

q-произвольное действительное число.

Тогда при любых ограниченных начальных отклонениях от нулевого значения система будет абсолютно устойчивой.

Алгоритм анализа абсолютной устойчивости:

1. Построим годограф модифицированной

частотной характеристики

W̃(jω) = Re W(jω) + jωImW(jω).

2. Находим параметр k (наименьший из возможных), удовлетворяющий условию п.2 теоремы.

3. Анализ геометрической интерпретации условий абсолютной устойчивости:

Рис.5.23. Характеристика

нелинейного элемента, принадле-

жащая сектору [0,k]

3.1. Абсолютной устойчивости нет (рис.5.24).

Рис.5.24. Годограф модифицированной частотной характеристики, когда абсолютной

устойчивости нет

3.2. Система абсолютно устойчива (рис.5.25).

Рис.5.25. Годограф модифицированной частотной характеристики,

когда система абсолютно устойчива

3.3. Заключение об абсолютной устойчивости сделать не представляется возможным (рис.5.26).

Рис.5.26. Годограф модифицированной частотной характеристики,

когда требуются дополнительные исследования для заключения

об абсолютной устойчивости

Приведем утверждение об абсолютной устойчивости часто встречающихся систем, в которых передаточная функция линейной части W(р) имеет один нулевой полюс, а нелинейный элемент F( ) имеет зону нечувствительности:

“Пусть все полюсы передаточной функции W(р) линейной части системы лежат в левой полуплоскости (Rep<0), за исключением одного, равного нулю, причем . Пусть, кроме того, характеристика F( ) нелинейного элемента удовлетворяет условиям: F( )=0 при 0<F( ) ≤ k( - ) при при ; причем , (т.е. график функции u=F( ) не приближается “плотно” к границе секторов, изображенных на рис. 5.27).

Тогда, если существует такое действительное число q>0, что не является полюсом W(p), и для всех выполняется неравенство

, (5.58) то при любых ограниченных начальных условиях процессы в системе останутся ограниченными и (t) при t стремится к одной из точек отрезка покоя ”.

Рис.5.27.График функции u=F( ) в границах секторов

Пример 5.9. Требуется исследовать абсолютную устойчивость системы, структурная схема которой (рис.5.28,а) включает релейный элемент с зоной нечувствительности (рис.5.28,в) или элемент с зонами нечувствительности, линейности и насыщения (рис.5.28,б).