Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом половинного деления

В общем случае нелин. уравнения с одной переменной можно записать так: F(x)=0 (1), где F(x) определена и непрерывна на некотором отрезке [a,b]. Всякое число α, обращающее F(x) в 0, называется корнем уравнения (1).

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решаются путем аналитических преобразований (т.е. точными методами), на практике их решают только численными методами. Решить такое уравнение означает: выяснить, имеет ли оно корни, сколько корней и уточнить корни с заданной степенью точности.

Уточнение корня методом половинного деления

Дано нелинейное уравнение f(x)=0. Найти корень уравнения, принадлежащий отрезку [a,b], с заданной точностью ξ.

Для уточнения корня методом половинного деления последовательно осуществляем следующие операции:

1. Делим отрезок [a,b] пополам: t –середина отрезка [a,b]

2. В качестве нового интервала изоляции принимаем ту половину интервала, на концах которого функция имеет разные знаки

Для этого:

a) Вычисляем значение функции f(x) в точках a и t.

b) Проверяем: если f(a)f(t) < 0, то корень находится в левой половине интервала [a,b] (Рисунок а). Тогда отбрасываем правую половину интервала и делаем присвоение b=t.

c) Если f(a)f(t) < 0 не выполняется, то корень находится в правой половине интервала [a,b] (Рисунок б). Тогда отбрасываем левую половину и делаем присвоение a=t. В обоих случаях мы получим новый интервал [a,b] в 2 раза меньший предыдущего.

3. Процесс, начиная с пункта 1, циклически повторяем до тех пор, пока длина интервала [a,b] не станет равной либо меньше заданной точности, т.е. |b-a|≤ ξ