Численные методы интерполирования функций. Постановка задачи. Формула Лагранжа для неравноотстоящих узлов

В практических задачах часто возникает необходимость представлять сложную аналитическую функцию более простой, либо использовать функции, заданные таблично. Необходимо для дальнейшего исследования представить табличную функцию в виде аналитической.

Существуют различные способы получения таких функций. Один из них интерполирование. В общем виде, задачи интерполирования формулируются так:

Пусть функция y=f(x) задана в (n+1) точке x₀,x_1­,…,x_n своими значениями y₀,y₁,…,y_n, то есть y₀=f(x₀), …, y_n=f(x_n).

Требуется подобрать достаточно простую функцию , удовлетворяющую следующим условиям:

1) В точке x₀,x_1­,…,x_n, значения функции должны совпадать со значениями данной функции: , k=0,1,…,n.

2) Во всех остальных точках из области определения, выполняется приближенное равенство: .

Функция называется интерполирующей, процесс ее построения - интерполированием, точки x₀,x_1­,…,x_n - узлами интерполирования. Интерполирующая функция подбирается из определенного класса функций. Часто в качестве такой функции берется многочлен n-й степени, процесс построения такого многочлена - параболическое интерполирование.

Пусть функция y=f(x) задана в (n+1) узле интерполирования своими значениями.

Многочлен

называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Интерполяционный многочлен для n=4:

Как проверить, что это многочлен интерполяционный? По определению (первое условие).

Таблица конечных разностей. Свойства конечных разностей

Пусть функция y=f(x_i) задана в (n+1) точке. Точки x₀, x₁, … - равноотстоящие, т.е. x_i=x₀+ih, где i=0..n, h=(b-a)/n.

Конечными разностями 1-го порядка называют числа, равные приращениям функции, т.е.

где k=0..n-1.

Конечными разностями второго порядка называют числа, равные приращениям конечных разностей 1-го порядка, т.е.

где k=0..n-2.

В общем случае конечные разности s-го порядка называют числа, равные приращению конечных разностей (s-1) порядка, т.е.

В результате вычислений получаем таблицу следующего вида. Верхняя диагональ используется для построения первой интерполяционной формулы Ньютона. Нижняя – для второй интерполяционной формулы Ньютона.

Рассмотрим свойства конечных разностей:

1) С – постоянная,

2)

3)

4) Это равенство показывает, что конечной разностью многочлена n-ой степени будет многочлен (n-1) степени.

Выясним, каким образом связаны значения конечных разностей и значения функции.

По определению конечных разностей первого порядка Следовательно, преобразуется к следующему виду:

Продолжая процесс, получим

Существует и обратная зависимость функции от конечных разностей.