![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Численные методы интерполирования функций. Постановка задачи. Формула Лагранжа для неравноотстоящих узловВ практических задачах часто возникает необходимость представлять сложную аналитическую функцию более простой, либо использовать функции, заданные таблично. Необходимо для дальнейшего исследования представить табличную функцию в виде аналитической. Существуют различные способы получения таких функций. Один из них интерполирование. В общем виде, задачи интерполирования формулируются так: Пусть функция y=f(x) задана в (n+1) точке x0,x1,…,xn своими значениями y0,y1,…,yn, то есть y0=f(x0), …, yn=f(xn). Требуется подобрать достаточно простую функцию 1) В точке x0,x1,…,xn, значения функции 2) Во всех остальных точках из области определения, выполняется приближенное равенство: Функция Пусть функция y=f(x) задана в (n+1) узле интерполирования своими значениями. Многочлен
называется интерполяционным многочленом Лагранжа. Интерполяционный многочлен для n=4: Как проверить, что это многочлен интерполяционный? По определению (первое условие).
Таблица конечных разностей. Свойства конечных разностей Пусть функция y=f(xi) задана в (n+1) точке. Точки x0, x1, … - равноотстоящие, т.е. xi=x0+ih, где i=0..n, h=(b-a)/n. Конечными разностями 1-го порядка называют числа, равные приращениям функции, т.е.
где k=0..n-1. Конечными разностями второго порядка называют числа, равные приращениям конечных разностей 1-го порядка, т.е.
где k=0..n-2.
В общем случае конечные разности s-го порядка называют числа, равные приращению конечных разностей (s-1) порядка, т.е.
Рассмотрим свойства конечных разностей: 1) С – постоянная, 2) 3) 4) Это равенство показывает, что конечной разностью многочлена n-ой степени будет многочлен (n-1) степени. Выясним, каким образом связаны значения конечных разностей и значения функции. По определению конечных разностей первого порядка
Продолжая процесс, получим Существует и обратная зависимость функции от конечных разностей.
|