Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом хорд




В общем случае нелин. уравнения с одной переменной можно записать так: F(x)=0 (1), где F(x) определена и непрерывна на некотором отрезке [a,b]. Всякое число α, обращающее F(x) в 0, называется корнем уравнения (1).

Метод хорд

Пусть корень уравнения (1) отделен на отрезке [a,b]. Требуется уточнить корень х* с точностью ε>0.

Метод основан на замене функции f(x) на каждом шаге поиска хордой, проходящей через точки с координатами (a; F(a)), (b; F(b)).

Обозначим точку пересечения хорды с осью ОХ с1 и запишем уравнение хорды как уравнение прямой

Так как точка с координатами (c1; 0) принадлежит хорде, то ее координаты удовлетворяют уравнению хорды

Отсюда выражаем с1, получаем

Полученная формула называется формулой метода хорд, а с1 – первым приближением к х*. Очевидно, что теперь корень уравнения (1) находится на отрезке [c1;b]. Продолжая указанный выше процесс, получаем рекуррентную формулу метода хорд:

Последовательность с12,…,сn,… сходится к х*, если функция F(x) имеет знакопостоянные первую и вторую производные на отрезке [a,b].

 

В данной серии формул метода хорд приближение строится с конца а, при этом конец b остается неподвижен. Однако может возникнуть ситуация, когда неподвижным является конец а, а приближение строится с b. Тогда формулы будут иметь следующий вид:

 

 

Очевидно, что в формулах метода хорд неподвижным является тот конец, в котором знаки функции и ее второй производной совпадают на промежутке.

Вычисление следует заканчивать, как только расстояние между двумя соседними приближениями станет <ε, т.е. |cn-cn-1|≤ε.


Поделиться:

Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 179; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты