Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом касательных

Рассмотренные ранее методы (дихотомии, хорд) решения нелинейных уравнений являются методами прямого поиска. В них для нахождения корня используется нахождение значения функции в различных точках интервала [a,b].

Метод Ньютона относится к градиентным методам, в которых для нахождения корня используется значение производной.

Дано нелинейное уравнение f(x)=0. Найти корень х* на интервале [a,b] с точностью ε>0.

Метод Ньютона основан на замене исходной функции f(x), на каждом шаге поиска касательной, проведенной к этой функции, с координатами (b;F(b)).

Обозначим точку пересечения касательной с осью ОХ с₁ и запишем уравнение касательной как прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом:

Так как с₁ принадлежит касательной, то ее координаты (с1;0) удовлетворяют уравнению касательной

Отсюда выражаем с₁:

Полученная формула называется формулой метода касательных, а с₁ – первым приближением к х*. Очевидно, что теперь корень уравнения находится на отрезке [a;c₁]. Продолжим построение касательной по указанному выше алгоритму, получим рекуррентную формулу метода касательных:

Вычисления следует закончить, когда расстояние между двумя соседними приближениями станет <ε, т.е. |c_n-c_n-1|≤ε.

Для того чтобы точка пересечения касательной с осью абсцисс попала в отрезок [a,b], необходимо касательную строить в том конце отрезка, в котором знак функции совпадает со знаком второй производной.

Если возникнет ситуация, в которой касательную нужно строить в точке а (рис), то формулы метода касательных примут вид:

…