Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом касательных

Читайте также:
  1. Cтруктуры внешней памяти, методы организации индексов
  2. Gt; во-вторых, когнитивной оценкой (cognitive appraisal), которую человек дает событию, требующему разрешения.
  3. II. Индукция методом исключения
  4. II. Методы искусственной детоксикации организма
  5. II. Методы несанкционированного доступа.
  6. III. Для обеспечения проверки исходного уровня Ваших знаний-умений необходимому, предлагаем решить 2 задачи.
  7. III. Для обеспечения проверки исходного уровня Ваших знаний-умений необходимому, предлагаем решить 2 задачи.
  8. III. Методы манипуляции.
  9. III. Примеры решения задач.
  10. III. Примеры решения задач.

Рассмотренные ранее методы (дихотомии, хорд) решения нелинейных уравнений являются методами прямого поиска. В них для нахождения корня используется нахождение значения функции в различных точках интервала [a,b].

Метод Ньютона относится к градиентным методам, в которых для нахождения корня используется значение производной.

Дано нелинейное уравнение f(x)=0. Найти корень х* на интервале [a,b] с точностью ε>0.

Метод Ньютона основан на замене исходной функции f(x), на каждом шаге поиска касательной, проведенной к этой функции, с координатами (b;F(b)).

Обозначим точку пересечения касательной с осью ОХ с1 и запишем уравнение касательной как прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом:

Так как с1 принадлежит касательной, то ее координаты (с1;0) удовлетворяют уравнению касательной

Отсюда выражаем с1:

Полученная формула называется формулой метода касательных, а с1 – первым приближением к х*. Очевидно, что теперь корень уравнения находится на отрезке [a;c1]. Продолжим построение касательной по указанному выше алгоритму, получим рекуррентную формулу метода касательных:


Вычисления следует закончить, когда расстояние между двумя соседними приближениями станет <ε, т.е. |cn-cn-1|≤ε.

Для того чтобы точка пересечения касательной с осью абсцисс попала в отрезок [a,b], необходимо касательную строить в том конце отрезка, в котором знак функции совпадает со знаком второй производной.

Если возникнет ситуация, в которой касательную нужно строить в точке а (рис), то формулы метода касательных примут вид:

 

 



Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 32; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня методом хорд | Численные методы решения нелинейных уравнений. Постановка задачи. Уточнение корня комбинированным методом
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты