Потоки событий СМО.

Потоки случайных событий в СМО (времени появления заявки, времени простоя в очереди, времени обслуживания) могут быть различными и отличаться своими характеристиками. Основными характеристиками потоков являются: регулярность, стационарность, отсутствие последействия и ординарность.

Поток событий называется регулярным, если в нем события наступают последовательно через заранее заданные и строго определенные промежутки времени. Чаще встречаются нерегулярные потоки.

Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала. Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени. На практике потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени (поток покупателей в магазине меняется в течение рабочего дня, но в течение разных временных интервалов поток может рассматриваться как стационарный).

Поток событий называется потоком без последействия, если число событий, попадающих на один из произвольно выбранных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой. Отсутствие последействия показывает, что последовательные события в таком потоке наступают независимо друг от друга.

Поток событий называется ординарным, если вероятность наступления за очень маленький отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события. Ординарность потока означает, что события в нем за достаточно малый промежуток времени либо не наступают, либо наступают по одному, а не по несколько.

В зависимости от сочетания перечисленных свойств существуют разные потоки. Если поток одновременно обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия, то такой поток называетсяпростейшим потоком событий (или пуассоновским ­ по имени французского математика). Математическое описание воздействия такого потока на системы оказывается наиболее простым.

Чаще всего считается, что входной и выходной потоки могут быть отнесены к простейшим. Предположим, статистические наблюдения позволили получить величину λ­ среднего число заявок, появляющихся за единицу времени (интенсивность входного потока). Интенсивность простейшего потока постоянна в силу его стационарности. Обратная ей величина 1/λ, — средний интервал времени между двумя соседними заявками.

λ ­ параметр потока, может быть выражен в разных единицах:

Плотность вероятности входного потока описывается функцией:

f (t) = λ e^-λτ, t≥0. (3.1)

Математическое ожидание ­1/ λ, (3.2)

Дисперсия ­ 1/ λ2, (3.3)

Среднеквадратичное отклонение ­ 1/ λ. (3.4)

Поток с такими свойствами называется потоком с показательным (экспоненциальным) законом распределения.

Для выходного потока: среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени, является интенсивностью обслуживания ─ μ.

Обратная величина 1/ μ определяет среднее время обслуживания одной заявки.

Имеет смысл рассматривать те проекты СМО, для которых среднее время обслуживания 1/μ меньше среднего промежутка времени 1/λ между поступлением заявок, ибо в противном случае очередь будет постоянно расти. В том же случае, когда 1/μ < 1/λ, через некоторое время после начала работы система перейдет в стационарный режим.

Обозначив отношение λ/μ через р, можно показать, что стационарный режим устанавливается при р < 1. Величину р называют нагрузкой системы.

Пользуясь приведенными выше параметрами входного и выходного потоков можно определить основные показатели одноканальной системы массового обслуживания с простейшими потоками по формулам:

• коэффициент простоя системы

Е₁ = 1-р, (3.5)

• среднее число заявок в системе

Е₂ = p/(1-p), (3.6)

• средняя длина очереди

Е₃= p²(1-p), (3.7)

• среднее время пребывания заявки в системе

Е₄ =l /(μ-λ), (3.8)

• время пребывания заявки в очереди

Е₅ = р/(μ-λ). (3.9)

На основе анализа значений приведенной системы показателей, характеризующих систему массового обслуживания можно сделать вывод о целесообразности выбора одного из вариантов функционирования СМО.