Классификация и способы представления СМО.

Классификация СМО осуществляется по различным признакам:

• По числу обслуживающих приборов (под прибором понимается устройство или человек, обслуживающий заявки) – одноканальные, многоканальные. Например, в магазине может быть одна или несколько касс. В первом случае система называется одноканальной, во втором — многоканальной.

• В зависимости от последовательности обслуживания каждой заявки системы массового обслуживания могут быть однофазными и многофазными. В первом случае заявка обслуживается только одним прибором, во втором — последовательностью приборов. Например, касса в магазине — однофазная система, сберкасса — двухфазная, поскольку сначала клиент обслуживается контролером, а только затем получает деньги у кассира.

• В зависимости от числа мест в очереди:

Системы с отказами: число мест в очереди m является конечным, т е некоторым заявкам могут предоставляться отказы в обслуживании;

Системы с ожиданием: заявка ожидает обслуживания при любой длине очереди и любом по длительности времени ожидания.

• По способу отбора для обслуживания заявок из очереди:

Чаще всего применяется дисциплина: «первым пришел — первым обслуживается». Но возможны и другие порядки обслуживания:

• «первым пришел — последним обслужен»,

• случайный порядок обслуживания,

• обслуживание с приоритетами.

• В зависимости от расположения каналов в системе обслуживания:

- параллельное расположение каналов обслуживания;

- последовательное расположение каналов обслуживания..

При параллельном расположении каналов обслуживания заявка может быть обслужена любым свободным каналом. Примером такой системы является расчетный узел в магазине самообслуживания, где число каналов обслуживания совпадает с числом кассиров-контролеров.

При последовательном расположении каналов обслуживания очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. Например, в цехе детали после обработки рабочим поступают к контролеру.

В зависимости от характера потоков событий СМО и числа каналов для СМО принята следующая система обозначений:

А/В/m/k/M (жирным шрифтом выделены обязательные для заполнения поля), где:

А – распределение времени между поступлением заявок,

В - распределение времени обслуживания заявок,

m – количество обслуживающих приборов,

к – ограничение на количество мест в очереди (по умолчанию − ∞),

М - ограничение на количество заявок в системе (по умолчанию − ∞),

В полях А и Вдопускаются следующие обозначения:

М – экспоненциальный (показательный) закон

распределения вероятностей соответствующей

случайной величины,

D – постоянное время обслуживания,

G – любой (произвольный) закон.

Например, М/М/1 – это обозначение СМО с одним обслуживающим устройством, в котором поступление заявок и время их обслуживания распределены по пуассоновскому (экспоненциальному) закону распределения.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем удобно пользоваться вариантом схематического изображения возможных состояний СМО в виде графа с разметкой его возможных фиксированных состояний. Состояния СМО изображаются обычно либо прямоугольниками, либо кружками, а возможные направления переходов из одного состояния в другое ориентированы стрелками, соединяющими эти состояния.

Например, размеченный граф состояний одноканальной системы процесса обслуживания в газетном киоске приведен на рис.3.2:

Рис. 3.2 Размеченный граф состояний СМО.

Система может находиться в одном из трех состояний: S₀ – канал свободен, простаивает; S₁ – канал занят обслуживанием; S₂ - канал занят обслуживанием и одна заявка в очереди.

Переход системы из состояния S0 в S1 происходит под воздействием простейшего потока заявок интенсивностью λ₀₁ , а из состояния S1 в состояние S0 систему переводит поток обслуживания с интенсивностью λ₁₀. Граф состояний системы обслуживания с проставленными интенсивностями потоков у стрелок называется размеченным. Поскольку пребывание системы в том или ином состоянии носит вероятностный характер, то вероятность рi(t) того, что система будет находиться в состоянии Si в момент времени t, называется вероятностью i-го состояния СМО и определяется числом поступивших заявок k на обслуживание.

Случайный процесс, происходящий в системе, заключается в том, что в случайные моменты времени t0, t1, t2, ….., tk ,….., tn система оказывается в том или другом заранее известном дискретном состоянии последовательно. Такая случайная последовательность событий называется Марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из одного состояния Si в любое другое Sj не зависит от того, когда и как система перешла в состояние Si. Описывается Марковская цепь с помощью вероятности состояний, причем они образуют полную группу событий, поэтому их сумма равна единице. Если вероятность перехода не зависит от номера k, то Марковская цепь называется однородной. Зная начальное состояние системы обслуживания, можно найти вероятность состояний для любого значения k – числа заявок, поступивших на обслуживание.

Математическое изучение функционирования СМО значительно упрощается, если протекающий в ней случайный процесс является Марковским. В этом случае работа СМО сравнительно легко описывается с помощью аппарата конечных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка. В предельном режиме (при достаточно длительном функционировании сложных систем) работа СМО может быть представлена с помощью аппарата конечных систем линейных алгебраических уравнений, в результате удаётся выразить в явном виде основные характеристики эффективности функционирования СМО через параметры СМО, потока заявок и дисциплины работы СМО.