Общие сведения о системах массового обслуживания

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное, которое зависит от многих случайных, порой неизвестных нам, причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приёму следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО. В некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же другие интервалы времени при свободных каналах (устройствах обслуживания) на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию её каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо «становятся» в очередь, либо по какой-то причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

На рис 3.1 изображена схема СМО.

Основными элементами (признаками) систем массового обслуживания являются:

Обслуживающий узел (блок),

Поток заявок,

Очередь в ожидании обслуживания (дисциплина очереди).

Обслуживающий блок предназначен для осуществления действий согласно требованиям поступающих в систему заявок.

Рис. 3.1 Схема системы массового обслуживания

Вторая составляющая систем массового обслуживания — входной поток заявок. Заявки поступают в систему случайным образом. Обычно предполагают, что входной поток подчиняется некоторому вероятностному закону для длительности интервалов между двумя последовательно поступающими заявками, причем закон распределения считается не изменяющимся в течение некоторого достаточно продолжительного времени. Источник заявок — неограничен.

Третья составляющая — дисциплина очереди. Эта характеристика описывает порядок обслуживания заявок, поступающих на вход системы. Поскольку обслуживающий блок, как правило, имеет ограниченную пропускную способность, а заявки поступают нерегулярно, то периодически создается очередь заявок в ожидании обслуживания, а иногда обслуживающая система простаивает в ожидании заявок.

Главная особенность процессов массового обслуживания – случайность. При этом имеются две взаимодействующие стороны: обслуживаемая и обслуживающая. Случайное поведение хотя бы одной из сторон приводит к случайному характеру протекания процесса обслуживания в целом. Источниками случайности взаимодействия этих двух сторон являются случайные события двух типов.

1. Появление заявки (требования) на обслуживание. Причиной случайности данного события часто является массовый характер потребности в обслуживании.

2. Окончание обслуживания очередной заявки. Причинами случайности этого события является как случайность начала обслуживания, так и случайная продолжительность самого обслуживания.

Указанные случайные события составляют систему двух потоков в СМО: входного потока заявок на обслуживание и выходного потока обслуженных заявок.

Результатом взаимодействия указанных потоков случайных событий является число находящихся в СМО заявок в данный момент, которое принято называть состоянием системы.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров ­ характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, от правил организации работы, ­ обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей успешно справляться с потоком заявок.

Специальная область прикладной математики ­ теория массовогообслуживания (ТМО) – занимается анализом процессов в системах массового обслуживания. Предметом изучения теории массового обслуживания является СМО.

Цель теории массового обслуживания ­ выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО. Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от её организации.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном счете направлены на определение такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоя обслуживающего блока. Знание таких характеристик дает менеджеру информацию для выработки направленного воздействия на эти характеристики для управления эффективностью процессов массового обслуживания.

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО обычно выбираются три следующие основные группы (обычно средних) показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО:

• Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.

• Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу заявок поступивших за это же время.

• Средняя продолжительность периода занятости СМО.

• Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течении которого СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.

1. Показатели качества обслуживания заявок:

• Среднее время ожидания заявки в очереди.

• Среднее время пребывания заявки в СМО.

• Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

• Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

• Закон распределения времени пребывания заявки в очереди.

• Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

• Среднее число заявок, пребывающих в очереди.

• Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

1. Показатели эффективности функционирования пары «СМО − потребитель», где под «потребителем» понимают всю совокупность заявок или некий их источник: средний доход, приносимый СМО в единицу времени и т.п.

Отметим, что третья группа показателей оказывается полезной в тех случаях, когда некоторый доход, получаемый от обслуживания заявок и затраты на обслуживание измеряются в одних и тех же единицах. Эти показатели обычно носят вполне конкретный характер и определяются спецификой СМО, обслуживаемых заявок и дисциплиной обслуживания.

Впервые задачи такого типа были решены в работах А. К. Эрланга в начале прошлого века и легли в основу «Теории массового обслуживания», которая успешно развивается в настоящее время. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров, Е.С.Вентцель и др.