Пример простой СМО.

В качестве примера применения системы массового обслуживания рассмотрим задачу проектирования автозаправочной станции (АЗС).

Пример 3.1 Пусть необходимо выбрать один из нескольких вариантов строительства АЗС. Автомобили прибывают на станцию случайным образом и, если не могут быть обслужены сразу, становятся в очередь. Дисциплина очереди: «первым пришел — первым обслужен». Предположим для простоты, что во всех вариантах рассматривается только одна бензоколонка, а вариант от варианта отличается лишь ее мощностью. Средний интервал времени между прибытием автомобилей ( ) составляет 4 минуты и не зависит от варианта строительства.

Величина среднего времени обслуживания одного автомобиля ( )зависит от выбранного варианта строительства АЭС и составляет (соответственно вариантам): 5 мин, 3,5 мин, 2 мин, 1 мин, 0,5 мин. Результаты расчетов по исследованию раз­личных вариантов строительства АЗС по формулам (3.5 ÷3.9) сведены в табл. 3.1:

Таблица 3.1

Из анализа результатов расчетов следует.

Первый вариант строительства АЗС не годен из-за того, что очередь в этом случае будет расти до бесконечности (р>1).

Второй вариант приемлем по показателю загруженности оборудования

р = 0,88 и, следовательно, малой средней доли простоя оборудо­вания Е₁ = 0,13, но при этом варианте возникают большие очереди и, следовательно, большие средние времена простоя автомобилей Е₄ ≈ 27 мин.

Третий вариант приводит к тому, что оборудование в среднем половину времени простаивает, но среднее число автомобилей в системе равно только 1, а средние потери времени равны 4 мин при среднем времени обслуживания 2 мин.

В остальных вариантах очереди практически нет, но большую часть времени оборудование простаивает, поэтому эти варианты целесообразно отбросить как неэффективные.

Окончательный выбор варианта проекта АЗС, очевидно, принадлежит лицу, принимающему решение (ЛПР), но предварительная рекомендация по результатам анализа может состоять в предложении третьего варианта, если исходить из того, что наблюдается постоянная тенденция роста автомобильного парка в стране.

Методы анализа СМО (простые, как приведено выше, и гораздо более сложные) широко применяются на практике для стационарных режимов работы системы. Кроме этого в этих моделях СМО предполагается воздействие на СМО только простейших потоков случайных событий. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, исследование СМО сильно усложняется или становится вообще невозможным с применением конечных методов. В этом случае для анализа сложной системы приходится пользоваться методом имитационного моделирования.

Вопросы по теме

1. Каковы основные составляющие систем массового обслуживания? Каковы могут быть устройства блоков обслуживания?

2. Каковы могут быть порядки обслуживания очередей?

3. Какими показателями характеризуются системы массового обслуживания?

4. Как определяются основные показатели, характеризующие СМО, для случая экспоненциальных распределений вероятностей поступления заявок и вероятностей времени их обслуживания?

5. Приведите примеры систем, в которых появление заявки на обслуживание является случайной величиной.

6. Приведите примеры систем, в которых время обслуживания (продолжительность обслуживания) заявки является случайной величиной.