Поняття послідовності, яка дискретизує, її аналітичний запис

Відомо, що спектр добутку двох сигналів є пропорціональним згортці їх спектральних щільностей. Тому, якщо: ,

То спектральна щільність МІП-сигнала

,

Таким чином, підставивши (3) в (2) та змінивши порядок слідування операцій інтегрування та додавання, знаходимо вираз (3).

Як виглядає спектр дискретного сигналу (МІП- сигналу) та особливості пов’язані з теоремою Котельникова?

Спектр сигналу, який отриманий в результаті ідеальної дискретизації нескінченно короткими імпульсами, являє собою суму нескінченного числа «копій» спектра початкового аналогового сигналу s(t) з центральними частотами 0; ± ω_Д; ±2 ω_Д і т.д.

Якщо , тобто , то можна відновити початковий сигнал s(t), пропустивши дискретний сигнал через ідеальний фільтр нижніх частот (ФНЧ) з частотним коефіцієнтом передачі

.

Якщо ж , тобто , то сусідні копії спектра перекриваються і відновлення сигналу s(t) неможливо. Мінімальний інтервал (період) вибірок дорівнює Δ = 1/2F_m, що й стверджується в теоремі Котельникова.

Дискретне перетворення Фур’є може бути отримано безпосередньо шляхом інтегрального перетворення Фур’є дискретизованого часового сигналу:

Якщо сигнал заданий на інтервалі (0…Т_С) і період дискретизації має значення Т, то можна визначити число відліків , при цьому границі додавання конкретизуються

Введемо дискретизацію по частоті де Т_С - тривалість функції сигналу часі. Тоді отримаємо

дискретне перетворення Фур’є. Для зручності запису зазвичай вводяться скорочені позначення спектральних та часових компонент: :

Аналогічно отримаємо формулу для зворотного дискретного перетворення Фур’є

Враховуючи, що

Пряме та зворотне дискретні перетворення Фур’є (ДПФ) пов’язують дискретний сигнал з його дискретним спектром та є зручним алгоритмом для чисельного розрахунку спектра сигналу по його часовій функції, в свою чергу, розрахунку сигналу (часової функції) по його спектру. Визначення Z-перетворення?

Розповсюдженим способом аналізу дискретних та цифрових послідовностей є Z- перетворення (z-transform). Воно відіграє для дискретних сигналів та систем таку ж роль, як для аналогових – перетворення Лапласа.

Довільній неперервній функції s(t), рівномірно дискретизованій й відображеній відліками s_k = s(kt), можна поставити в відповідність степінний поліном по z, послідовними коефіцієнтами якого є значення s_k:

s_k = s(kt)  TZ[s(kt)] = s_k z^k = S(z).

де z = + jv = r×exp(-j) - довільна комплексна змінна.

Поліном S(z) називають z-образом або z-зображенням функції s(kt).

Перетворення має сенс для області тих значень z, в якій ряд S(z) сходиться, тобто сума ряду є аналітичною функцією змінної z, яка не має полюсів та особливих точок.

Приклад:s_k = {1, 2, 0, -1, -2, -1, 0, 0}.

S(z) = 1z⁰ + 2z¹ + 0z² - 1z³ - 2z⁴ - 1z⁵ + 0z⁶ + 0z⁷ = 1 + 2z - z³ - 2z⁴ - z⁵.

Вперше z-перетворення введено в користування П.Лапласом в 1779 .

По заданому z-поліному однозначно відновлюється відповідна йому дискретна функція часу

Пример:S(z) = 1 + 3z² + 8z³ - 4z⁶ - 2z⁷ = 1z⁰ + 0z¹ + 3z² + 8z³ + 0z⁴ + 0z⁵ - 4z⁶ - 2z⁷.

s_k = {1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}.

Сенс величини z в z-поліномі полягає в тому, що вона є оператором одиничної затримки по координатам функції часу. Множення z-образа сигналу s(k) на величину zⁿ означає затримку сигналу на n інтервалів дискретизації: zⁿS(z)  s(k-n).