![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Поняття послідовності, яка дискретизує, її аналітичний запис ⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10 Головною властивістю дискретного сигналу є те, що він має значення відмінне від нуля тільки в точках відліків, тобто для аналогового безперервного сигналу або розривно-безперервного сигналу, відповідний до нього дискретний сигнал Процедуру дискретизації зручно розглядати, як добуток вхідної функції х(t) на узагальнену періодичну функцію
Цей вираз ще називають «решітчастою функцією». Тобто дискретний сигнал буде подаватися за допомогою скалярного добутку, наступним чином У якості періодичної тактової функції зазвичай використовуються прямокутні імпульси з достатньо малою тривалістю Дискретний сигнал є математичною моделлю модульованої імпульсної послідовності – МІП. Цей вид модуляції відрізняється тим, що як “носійне коливання” замість гармонійного сигналу виступає періодична послідовність коротких імпульсів. Характер імпульсів, з яких складається МІП, не має значення. Якщо імпульси мають однакову тривалість, а їх амплітуди пропорційні відліковим значенням Якщо амплітуди імпульсів постійні, а тривалість (ширина) пропорційна миттєвим значенням аналогового сигналу – то це широтно-імпульсна модуляція (ШІМ). Математична модель модульованої імпульсної послідовності задається наступним виразом
Спектральна щільність модульованої імпульсної послідовності
Відомо, що спектр добутку двох сигналів є пропорціональним згортці їх спектральних щільностей. Тому, якщо: То спектральна щільність МІП-сигнала
Таким чином, підставивши (3) в (2) та змінивши порядок слідування операцій інтегрування та додавання, знаходимо вираз (3). Як виглядає спектр дискретного сигналу (МІП- сигналу) та особливості пов’язані з теоремою Котельникова? Спектр сигналу, який отриманий в результаті ідеальної дискретизації нескінченно короткими імпульсами, являє собою суму нескінченного числа «копій» спектра початкового аналогового сигналу s(t) з центральними частотами 0; ± ωД; ±2 ωД і т.д.
Якщо
Якщо ж теорема Котельникова У відповідності до теореми Котельникова: сигнал s(t), який не містить частот вище Fm, повністю визначається своїми миттєвими значеннями s(nΔt), відрахованими через рівні інтервали часу Δt=1/2Fm:
Дискретне перетворення Фур’є може бути отримано безпосередньо шляхом інтегрального перетворення Фур’є дискретизованого часового сигналу: Якщо сигнал заданий на інтервалі (0…ТС) і період дискретизації має значення Т, то можна визначити число відліків Введемо дискретизацію по частоті дискретне перетворення Фур’є. Для зручності запису зазвичай вводяться скорочені позначення спектральних та часових компонент: Аналогічно отримаємо формулу для зворотного дискретного перетворення Фур’є Враховуючи, що Пряме та зворотне дискретні перетворення Фур’є (ДПФ) пов’язують дискретний сигнал з його дискретним спектром та є зручним алгоритмом для чисельного розрахунку спектра сигналу по його часовій функції, в свою чергу, розрахунку сигналу (часової функції) по його спектру. Розповсюдженим способом аналізу дискретних та цифрових послідовностей є Z- перетворення (z-transform). Воно відіграє для дискретних сигналів та систем таку ж роль, як для аналогових – перетворення Лапласа. Довільній неперервній функції s(t), рівномірно дискретизованій й відображеній відліками sk = s(kt), можна поставити в відповідність степінний поліном по z, послідовними коефіцієнтами якого є значення sk: sk = s(kt) TZ[s(kt)] = де z = + jv = r×exp(-j) - довільна комплексна змінна. Поліном S(z) називають z-образом або z-зображенням функції s(kt). Перетворення має сенс для області тих значень z, в якій ряд S(z) сходиться, тобто сума ряду є аналітичною функцією змінної z, яка не має полюсів та особливих точок. Приклад:sk = {1, 2, 0, -1, -2, -1, 0, 0}.
S(z) = 1z0 + 2z1 + 0z2 - 1z3 - 2z4 - 1z5 + 0z6 + 0z7 = 1 + 2z - z3 - 2z4 - z5. Вперше z-перетворення введено в користування П.Лапласом в 1779 . По заданому z-поліному однозначно відновлюється відповідна йому дискретна функція часу Пример:S(z) = 1 + 3z2 + 8z3 - 4z6 - 2z7 = 1z0 + 0z1 + 3z2 + 8z3 + 0z4 + 0z5 - 4z6 - 2z7. sk = {1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}. Сенс величини z в z-поліномі полягає в тому, що вона є оператором одиничної затримки по координатам функції часу. Множення z-образа сигналу s(k) на величину zn означає затримку сигналу на n інтервалів дискретизації: znS(z) s(k-n).
|