Середньоквадратична похибка арифметичної сердини.

План

1. Нерівноточні вимірювання і їх вага.

2. Середня квадратична похибка одиниці ваги.

3. Середньовагове, його вага та середньоквадратична помилка.

4. Визначення середньої квадратичної помилки одиниці ваги із ряду подвійних нерівноточних вимірювань.

5. Оцінка точності вимірювань. Оцінка точності вимірювань по нев'язках у полігонах і ходах.

1.Длявизначення найбільш надійного значення з ряду нерівноточних вимірювань і оцінки їх точності вводять вагу вимірювань, яка показує степень надійності виконаних вимірювань.

Вага – степінь надійності результату вимірювань, яка виражається числом. Чим більша вага, тим надійніший, точніший результат вимірювання. Величина ваги обернено пропорціональна квадратові середньої квадратичної помилки:

де с — довільне число, що його вибирають для зручності обчислень, однакове при обробці даної групи вимірювань.

Якщо вага одного результату p₁ = k: т²₁, вага другого p₂ = k: т²₂, то:

2. Середня квадратична помилка одиниці ваги:

Середня квадратична помилка одиниці ваги є мірою оцінки точності нерівноточних вимірювань, так само як середня квадратична помилка одного вимірювання – при рівноточних вимірюваннях.

При достатньому числі п середні квадратичні помилки можна замінити випадковими, і тоді:

Якщо справжнє значення вимірюваної величини, середні квадратичні і справжні помилки результатів не відомі, за окремими результатами нерівноточних вимірювань l₁, l₂,... l_п обчислюють найімовірніше значення L₀ найімовірніші помилки v_і =L₀ -l і, нарешті, μ:

3.Найімовірніше значення величини, що його дістали з ряду нерівноточних результатів, називають середньоваговим значенням. Порядок його підрахунку видно з такого прикладу.

У групі 25 учнів з різним віком: 16 років—3, 17 років—6, 18 років—7, 19 років—6, 20 років— 3 чоловіка. Середній вік учнів становить:

При розв'язанні загальний сумарний вік учнів поділено на загальне їх число. Число учнів кожного віку визначає значення, вагу цього віку в загальній масі учнів. Позначивши вік учнів через l₁, l₂,... l_п а число учнів даного віку p₁, p₂, ... р_п, можна записати:

Це і є формула середньовагового значення. В ній l₁, l₂,... l_п окремі результати вимірювань з вагами p₁, p₂, ... р_п., або можна записати так:

Середньоквадратична похибка арифметичної сердини.

Вага арифметичної середини Р дорівнює сумі ваг рівноточних результатів вимірювань, за якими її обчислено:

Вагу загальної арифметичної середини обчислюють також за формулою (60); вона дорівнює сумі ваг нерівноточних результатів вимірювань, за якими обчислено загальне арифметичне середнє.

Для обчислення середньої квадратичної помилки загальної арифметичної середини використовуємо формулу:

Для істинної помилки формула буде виглядати так:

Для вірогідніших помилок формула буде такою:

4.Якщо є ряд подвійних нерівноточних вимірювань

l₁^', l₁^'' кожне з вагою p₁

l₂^', l₂^'' кожне з вагою p₂

l_n^', l_n^'' кожне з вагою p_n,

то складаємо різниці:

і формула для знаходження середньої квадратичної помилки одиниці ваги із ряду подвійних нерівноточних вимірювань прийме вид:

5.Якщо б можна було кожний раз знати істинну похибку результату вимірювання, то вона була б тим єдиним та універсальним кількісним критерієм точності, що задовольняв би усі вимоги як теорії, так і практики. Оскільки найчастіше істинні похибки невідомі, то точність окремого вимірювання характеризується кількісним критерієм точності, що виражає умови вимірювань.

Для характеристики умов вимірювань в геодезичній практиці використовують середню квадратичну похибку.

Оскільки середня квадратична похибка m і гранична помилка характеризують умови вимірювань, то між ними повинна існувати деяка залежність. Якщо цю залежність виразити через рівняння:

де t – деяка стала, то відшукування зведеться до встановлення параметра t.

Довголітня практика геодезичних вимірювань показала, що параметр t в залежності від задачі, що вирішується, потрібно приймати 2 або 3. Тому граничну випадкову помилку вимірювання приймають

або

Виконуючи багаторазові вимірювання однієї ж величини, потрібно бути впевненим, в тому, що серед результатів нема таких, які містять грубі похибки. Для цього встановлюють допуски відхилень результатів вимірювань одне від одного, яким є визначення

Для ряду рівноточних вимірювань однієї величини, граничне допустиме значення d _доп буде визначатися за формулою:

Правильність встановлення допусків має велике практичне значення, тому у приведених вище формулах слід використовувати надійні величини середніх квадратичних похибок безпосередніх вимірювань. Вони можуть бути отримані тільки на основі різноманітного виробничого матеріалу та відповідної його математичної обробки.

Досвід виконання геодезичних вимірювань відображається у нормативних документах (інструкціях, рекомендаціях, ДСТ), де вказують допуски, не тільки розраховані за формулами, але й всебічно перевірені практикою. Вони є головним критерієм якості геодезичних вимірювань і їх дотримання обв’язкове.

Питання для самоперевірки:

1. Нерівноточні вимірювання.

2. Вага нерівноточних вимірювань.

3. Середня квадратична похибка одиниці ваги.

4. Середньовагове, його вага

5. Середньоквадратична помилка середньовагового значення.

6. Визначення середньої квадратичної помилки одиниці ваги із ряду подвійних нерівноточних вимірювань.

7. Оцінка точності вимірювань. Оцінка точності вимірювань по нев'язках у полігонах і ходах.