Дисперсійний аналіз

Основною метою дисперсійного аналізу є виявлення впли­ву окремих факторів чи умов, які визначають варіацію ознаки. В основі дисперсійного аналізу лежить результативної ознаки у складається з двох частин: міжгрупової (факторної) дисперсії та середньої з групових (залишкової).

Взаємозв'язок факторної та залишкової варіації описується правилом розкладання дисперсії.

Загальна дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки під впливом всіх факторів і причин, як систематично діючих, так і випадкових. Загальна дисперсія результативної оз­наки обчислюється за індивідуальними значеннями ознаки у.

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію групових се­редніх, тобто варіацію результативної ознаки, яка пов'язана з варіацією групувальної факторної ознаки.

Середня з групових дисперсій характеризує варіацію резуль­тативної ознаки, пов'язану з варіацією всіх факторних ознак, крім тієї, яка покладена в основу групування.

Суть дисперсійного аналізу полягає у зіставленні (порівнянні) різних видів дисперсій: міжгрупової та загальної, загальної та внутрішньогрупової, між групової та внутрішньогрупової. Для вимірювання тісноти (щільності) зв'язків між ознаками застосовується кореляційний метод, суть якого полягає у визна­ченні спеціальних співвідношень, що базуються на правилі дода­вання дисперсій.

Відношення міжгрупової (факторної) дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв'язку і нази­вається коефіцієнтом детермінації.

.

За статистичною структурою це відношення є часткою варіації результативної ознаки у, яка пов'язана з варіацією озна­ки х. Здобувши квадратний корінь із цього відношення, одер­жуємо емпіричне кореляційне відношення.

Кореляційне відношення змінюється від 0 до 1. Якщо =0, то міжгрупова дисперсія дорівнює нулю. Це можливо лише за умови, коли всі групові середні однакові і кореляційний зв'язок між ознаками відсутній. При = 1 міжгрупова дисперсія дорівнює загальній, а середня з групових — нулю. В цьому випадку кожно­му значенню факторної ознаки відповідає єдине значення резуль­тативної ознаки, тобто зв'язок між ознаками функціональний.

Індекс кореляції визначають зіставленням внутрішньогрупо­вої і загальної дисперсії, і обчислюють за формулою:

R= .

Як бачимо величина і? збіглася з показником г\. Чим ближ­че К. до 1, тим тісніший зв'язок між ознаками.

Слід підкреслити, що значення > 0 не завжди є доказом наявності кореляційного зв'язку між ознаками. Відмінне від нуля кореляційне відношення може з'явитись і при випадковому роз­поділі сукупності на групи.

Перевірка істотності відхилень групових середніх здійсню­ється за допомогою критеріїв математичної статистики. Вона грунтується на порівнянні фактичного значення з так званим критичним. Останнє є тим максимально можливим значенням кореляційного відношення, яке може виникнути випадково при відсутності кореляційного зв'язку. Якщо фактичне значення більше від критичного, то зв'язок між результативною і фактор­ною ознаками вважається істотним. Якщо фактичне значення менше критичного, то наявність кореляційного зв'язку між озна­ками не доказана і зв'язок вважається неістотним.

Для оцінки надійності кореляційних характеристик вико­ристовують критерії Фішера (F) або Стьюдента (t).

Критерій Фішера (F-критерій) визначається за формулою:

,

де — міжгрупова дисперсія; — середня групова (залишкова) дисперсія; k₁ і к₂ — ступені вільності для великої і малої дисперсій. Фішер знайшов розподіл відношень дисперсій і розробив відповідні математичні таблиці, в яких наводиться F-критерій теоре­тичний F_т при двох ймовірностях 0,95 і 0,99. Якщо F_розф > F_т, то з прийнятим ступенем ймовірності можна стверджувати про наяв­ність впливу фактора, який вивчається. Коли ж F_роз < F_т, то різни­ця між дисперсіями зумовлена впливом випадкових факторів.

Розподіл у таблицях Фішера для знаходження F_т залежить від ступенів вільності міжгрупової к₁ і середньої з групових к₂ дис­персій. В аналітичному групуванні їх обчислюють за формулами:

k₁=m-1; k₂=n-m

де n — кількість елементів досліджуваної сукупності; т — число груп.

Надійність кореляційного відношення за критерієм Стьюдента (t — критерію): ,

де - середня похибка кореляційного відношення.

.

Якщо критерій Стьюдента >3, показник кореляційного відношення вважають вірогідним (тобто зв'язок між досліджува­ними явищами є доведеним). Якщо ж критерій < 3, то висновки про вірогідність зв'язку між досліджуваними явищами сумнівні.

Комбінаційні аналітичні групування і дисперсійний аналіз використовують для вивчення зв'язку результативної ознаки з двома і більше факторними ознаками. Вони дають можливість аналізувати залежність результативної ознаки від кожного з фак­торів при фіксованих значеннях інших. Методи вимірювання та­кого зв'язку і перевірку його істотності називають багатофакторними дисперсійними комплексами. Вони пов'язані з громіздкими розрахунками і потребують використання ЕОМ.