Основи кореляційно-регресійного аналізу

У кореляційно-регресійному аналізі оцінка лінії регресії здійснюється не в окремих точках, як в аналітичному групуванні, а в кожній точці інтервалу зміни факторної ознаки х .Тобто лінія регресії у даному випадку безперервна і зображується у вигляді певної функції Y=f(х), яка називається рівнянням регресії, а У— це теоретичні значення результативної ознаки.

Різні явища по-різному реагують на зміну факторів. Для то­го, щоб відобразити характерні особливості зв'язку конкретних явищ, статистика використовує різні за функціональним видом регресійні рівняння. Якщо зі зміною фактора х результату зміню­ється більш-менш рівномірно, такий зв'язок описується лінійною функцією У = а + bх. При нерівномірному співвідношенні варіа­цій взаємозв'язаних ознак (наприклад, коли прирости значень у зі зміною х прискорені чи сповільнені або напрям зв'язку змінюється), використовують нелінійні регресії, зокрема: степеневу, гіперболу, параболу.

Вибір та обгрунтування функціонального виду регресії грунтується на теоретичному аналізі суті зв'язку. Припустимо, що вивчається зв'язок між урожайністю та кількістю опадів. Над­то мала і надто велика кількість опадів спричиняють зниження урожайності, максимальний її рівень можливий за умови опти­мальної кількості опадів, тобто зі збільшенням факторної ознаки (опади) урожайність спершу зростає, а потім зменшується. За­лежність такого роду описується параболою Y= а + bх + сх².

Вивчаючи зв'язок між собівартістю у та обсягом продукції де, використовують рівняння гіперболи У = а + b/х, де а — про­порційні витрати на одиницю продукції, b — постійні витрати на весь випуск.

Слід зауважити, що теоретичний аналіз суті зв'язку, хоча й дуже важливий, лише окреслює особливості форми регресії і не мо­же точно визначити її функціональний вид. До того ж у конкрет­них умовах простору і часу межі варіації взаємопов'язаних ознак х і у значно вужчі за теоретично можливі. І якщо кривизна регресії невелика, то в межах фактичної варіації ознак зв'язок між ними до­сить точно описується лінійною функцією. Цим значною мірою пояснюється широке використання лінійних рівнянь регресії:

У=а + bх

Параметр b (коефіцієнт регресії) — величина іменована, має розмірність результативної ознаки і розглядається як ефект впли­ву х на у. Параметр а — вільний член рівняння регресії, це зна­чення у при х = 0. Якщо межі варіації х не містять нуля, то цей параметр має лише розрахункове значення.

Параметри рівняння регресії визначаються методом най­менших квадратів, основна умова якого — мінімізація суми ква­дратів відхилень емпіричних значень у від теоретичних У.

Математично доведено, що значення параметрів а та b, при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначається із системи нормальних рівнянь.

Для вимірювання щільності прямолінійних зв'язків викори­стовується лінійний коефіцієнт кореляції. Найбільш зручною фор­мулою для розрахунку коефіцієнта кореляції за незгрупованими даними є наступна:

Коефіцієнт кореляції можна обчислювати і за іншими фор­мулами. Якщо визначена форма кореляційного зв'язку і обчислений коефіцієнт регресії а, то коефіцієнт кореляції можна обчислити за формулою:

Лінійний коефіцієнт кореляції може набувати любих значень в межах від -1 до +1. Якщо г близьке до 1, то зв'язок між ознаками тісний, якщо г наближається до 0, то зв'язок незначний. Знак лінійного коефіцієнта кореляції вказує напрямок зв'язку — знак плюс свідчить про прямий зв'язок, знак мінус — обернений зв'язок.

Перевірку істотності зв'язку в кореляційно-регресійному ана­лізі здійснюють за допомогою тих самих критеріїв і за тими ж проце­дурами, що і в аналітичному групуванні та дисперсійному аналізі.