Аксонометрия. Изображение точек.

Пусть = {, , , } – аффинный репер в пространстве. Пусть
= , = , = . Пусть – произвольная точка в пространстве с координатами (x₁, x₂, x₃). Это означает, что

= x₁ + x₂ + x₃ .

Пусть – проекция точки на координатную плоскость параллельно вектору , а – проекция точки на ось Ox параллельно вектору . Тогда ломаная называется координатной ломаной точки . Для её звеньев выполнено

||=|x₁

X2

X3. Выберем плоскость изображений s и направление проецирования не параллельно координатным плоскостям. Спроецируем на плоскость репер вместе с координатной ломаной и применим преобразование подобия. Получим изображениеR = {O, E1, E2, E3} аффинного репера и изображение OMoM3M координатной ломаной. При аффинном отображении сохраняется соотношение отрезков, принадлежащих параллельным прямым. Поэтому и на изображении выполняется |OMo|=|x1||OE1|, |MoM3|=|x2||OE2|, |M3M|=|x3||OE3|. Из этого вытекает следующее утверждение. Если на плоскости s дано изображение аффинного репера, то мы можем построить изображение M данной точки по её координатам. Если даны изображения аффинного репера и координатной ломаной, то мы можем определить координаты точки . Заметим, что само изображение M точки не даёт возможности найти координаты этой точки. Если даны на изображении две точки M и M3, то мы можем восстановить изображение всей координатной ломаной, и тем самым, найти координаты . Если мы умеем строить изображения точек в системе координат, то мы можем строить и изображение пространственных фигур. Этот метод называется методом аксонометрического проецирования. Точку называют началом аксонометрической СК, а оси OE1, OE2, OE3 – аксонометрическими осями. Пусть , – проекции точки M на координатные плоскости и соответственно параллельно координатным осям и . Пусть M1, M2 – изображения этих точек. Тогда точка M называется аксонометрической проекцией точки , а M1, M2, M3 называются её вторичными проекциями. Для того, чтобы определить координаты точки по её изображению, достаточно иметь на чертеже её аксонометрическую проекцию и любую из вторичных. Но, если не оговорено, о какой вторичной проекции идёт речь, то предполагается, что это точка M3. Вместо утверждения «в пространстве дана точка , аксонометрическая проекция которой есть M, а вторичная M3» будем говорить «дана точка (M, M3)».