Изображение плоских фигур в параллельной проекции.

Выберем в пространстве некоторую плоскость s и назовём её плоскостью изображений. Выберем вектор непараллельный s. Направление этого вектора назовём направлением проецирования. Пусть – некоторая фигура в пространстве, а F_o – её проекция на плоскость s.

Определение. Фигуру будем называть оригиналом, а F_o – проекцией оригинала. Всякая фигура F, подобная F_o называется изображением фигуры .

Поясним. Вы хотите изобразить на стандартном листе бумаги стол. Проекция стола на этот лист не помещается. Поэтому необходимо совершить преобразование подобия: в данном случае – уменьшить проекцию. Иногда нужно ещё совершить поворот, для того, чтобы наиболее удобно поместить изображение.

Рассмотрим изображение плоских фигур. В дальнейшем везде предполагаем, что плоскость , в которой расположен оригинал , и плоскость изображений s не параллельны, а вектор , задающий направление проецирования не параллелен ни одной из этих плоскостей. Если ||s, то изображение будет подобно оригиналу. Этот случай не представляет интереса для изучения.

Теорема 6. Пусть фигуры и F лежат в плоскостях и s, которые пересекаются. Фигура может служить изображением фигуры F тогда и только тогда, когда эти фигуры аффинно-эквивалентны.

Доказательство. Пусть F является изображением . Тогда F получается из в результате проекции f₁: –®s и подобия f₂:s –®s.
Каждое из отображений f₁ и f₂ является аффинным. Поэтому f₂°f₁ – тоже аффинное отображение и F=f₂°f₁(). Следовательно, иF аффинно-эквивалентны.

Обратно, пусть иFаффинно-эквивалентны и f: –®s – такое аффинное отображение, что F=f(). Нам нужно доказать, что это отображение является композицией проекции и подобия. Выберем на плоскости произвольный репер = {, , } так, чтобы и принадлежали линии пересечения плоскостей и s. Пусть R = {A, B, C} – образ репера при отображении f.

На плоскости s выберем точку C_o так, чтобы DABC_o был подобен треугольнику ABC. Пусть

f₂:s –®s есть подобие, которое переводит DABC_o

в DABC. Пусть ||, а f₁: –®s есть проекция по направлению вектора .

Тогда f₁, очевидно, оставляет точки и на месте, а точку переводит в точку C_o. Тем самым, f₁ переводит репер в реперR _o= {, , C_o} на плоскости s. Следовательно, отображение f₂°f₁: –®s переводит репер в реперR. Но отображение f тоже переводит репер в реперR. Согласно теореме 3 f=f₂°f₁.

Теорему 6 можно переформулировать так: любое аффинное отображение f: –®s является композицией проекции и подобия, но только при условии, что плоскости и s не параллельны.