КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ ФИГУР
§1. Аффинное преобразование.
Напомним, что мы узнали про аффинные преобразования в предыдущем семестре.
Определение 1. Преобразование плоскости f:p–®p называется аффинным, если оно действует по формулам вида
(1)
и при этом, D = ¹ 0.
В матричном виде формулы (1) можно переписать так:
X¢= AX + C , (1¢)
где
A = ,C = .
1. Последовательное выполнение двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование. Преобразование обратное к аффинному тоже является аффинным. Тождественное преобразование является аффинным. Другими словами, все аффинные преобразования плоскости образуют группу.
2. (Основное свойство аффинных преобразований) Аффинное преобразование переводит прямые в прямые. При этом параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
3. Аффинное преобразование однозначно определяется заданием трех точек, не лежащих на одной прямой и их образов: A¢= f (A), B¢= f (B), C¢= f (C).
4.Аффинное преобразование с D>0 сохраняет ориентацию плоскости; аффинное преобразование с D<0 меняет ориентацию плоскости.
5.Аффинное преобразование сохраняет простое отношение трёх точек и сохраняет пропорциональность отрезков, лежащих на параллельных прямых.
Было сказано, что свойство 3 мы докажем в следующем семестре. Напомним, что аффинным репером на плоскости называется произвольная тройка точек, не лежащих на одной прямой. Поэтому свойство 3 вытекает теоремы 1, которую мы сформулируем позже.
Примем без доказательства, что следующее определение равносильно определению 1.
Определение 2.Преобразование плоскости называется аффинным, если оно переводит прямые в прямые.
Другими словами, любое преобразование плоскости, переводящее прямые в прямые задаётся формулами (1). Доказательство этого факта является настолько сложным, что привести его в рамках нашего курса невозможно.
Лемма. Пусть A и B – две точки на прямой l, а f1 и f2 – аффинные преобразования плоскости. Если f1(A)=f2(A), f1(B)=f2(B), то для любой точки M на прямой l выполняется f1(M)=f2(M).
Доказательство. Пусть A¢=f1(A), B¢=f1(B). Пусть M – произвольная точка на прямой l и M¢=f1(M), M²=f2(M). Пусть l=(AB, M). Тогда точки и обе принадлежат прямой l¢=f1(l), и обе делят отрезок AB в одинаковом отношении l:1. Значит, M¢=M².
Следствие. Если аффинное преобразование имеет f две неподвижные точки A и B, то и вся прямая неподвижна относительно преобразования f, т.е. f(M)=M "MÎAB.
Теорема 1. Пусть R = {O, A1, A2} и R ¢ = {O¢, A1¢, A2¢} – произвольные аффинные реперы плоскости P. Тогда существует одно и только одно аффинное преобразование плоскости, которое переводит репер Rв репер R ¢. При этом движении точка M с данными координатами в репере Rпереходит в точку M¢ с такими же координатами в репере R ¢.
Доказательство. Определим отображение f:p–®p по следующему правилу. Точке M(x, y)R сопоставляется точка M¢(x, y)R¢, т.е. имеющая точно такие же координаты, только во втором репере. Мы имеем
O(0, 0)R , O¢(0, 0)R¢; A1(1, 0)R , A1¢(1, 0)R¢; A2(0, 1)R , A2¢(0, 1)R¢.
Поэтому O¢= f (O), A1¢= f (A1), A2¢= f (A2).
Очевидно, что отображение f является взаимно однозначным. Докажем, что оно является аффинным. Пусть l – произвольная прямая. Тогда относительно репера она задаётся уравнением Ax+By+C=0. Но тогда её образ l¢ будет иметь точно такое же уравнение, только относительно репера R ¢. Следовательно, l¢ тоже является прямой.
Докажем единственность. Предположим, что существует ещё одно аффинное преобразование g, такое что g(R)=R¢. Пусть M – произвольная точка плоскости. Проведём через M прямую m, которая пересечёт координатные оси OA1 и OA2 в точках M1 и M2. Согласно лемме
Þ f(M)=g(M).
Итак, преобразования g и f одинаково действуют на произвольную точку плоскости. Это значит, что преобразования g и f совпадают.
Следствие. Если аффинное преобразование f имеет три неподвижные точки, которые не лежат на одной прямой, то f – тождественное преобразование.
Напомним, что в теореме 1 утверждается, что если заданы два репера на плоскости, то существует одно и только одно … . Эта формулировка совсем не говорит нам, что аффинное преобразование переводит репер в репер. Поэтому следующая теорема имеет самостоятельное значение.
Теорема 2. Любое аффинное преобразование плоскости переводит репер в репер.
Доказательство. Пусть f –аффинное преобразование, R={O, A1, A2} – произвольный репер, O¢=f(O), A¢1=f(A1), A¢2=f(A2). Нам требуется доказать, чтоR ¢ = {O¢, A1¢, A2¢} – тоже репер, т.е. что точки O¢, A1¢, A2¢ не лежат на одной прямой.
Предположим противное: эти точки лежат на одной прямой. Пусть M – произвольная точка плоскости, m, M1 и M2 – такие же, как в предыдущей теореме (см. также чертёж к теореме 1). Точка M1ÎOA1 Þ её образ M¢1ÎO¢A1¢; точка M2ÎOA2 Þ её образ M¢2ÎO¢A2¢. Следовательно, прямая m¢=f(m) совпадает с прямой A1¢A2¢, а значит, M¢=f(M)ÎA1¢A2¢.
Итак, мы показали, что произвольная точка плоскости отображается на прямую A1¢A2¢, а это значит, что вся плоскость отображается на эту прямую. Поэтому f не является преобразованием. Полученное противоречие показывает, что точки O¢, A1¢, A2¢ не могут лежать на одной прямой.
§2. Параллельное проецирование.
Определение. Выберем в пространстве некоторую плоскость s и вектор не параллельный s. Пусть – произвольная точка в пространстве. Проведём через прямую, параллельную . Эта прямая пересечёт плоскость s в точке Ao, которая называется параллельной проекцией точкина плоскость s по направлению вектора .
Совокупность проекций всех точек фигуры составляют фигуру Fo, которая называется проекцией фигуры F. Если вектор ^s, то проекция называется ортогональной.
В дальнейшем будем предполагать, что все рассматриваемые прямые и отрезки не параллельны вектору .
Свойства параллельного проецирования.
1. Проекция прямой есть прямая.
2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.
3. Проекция отрезка есть отрезок AoBo, где Ao – проекция точки , Bo – проекция точки .
4. При параллельном проецировании сохраняется простое отношение трёх точек. В частности, проекция середины отрезка есть середина отрезка AoBo.
5. Проекции параллельных отрезков, или отрезков, лежащих на одной прямой, параллельны или лежат на одной прямой.
6. Проекции параллельных отрезков, или от-резков, лежащих на одной прямой пропорциональны этим отрезкам:
= .
Упражнение. Доказательство всех этих утверждений не выходит за рамки школьного курса математики. Докажите их самостоятельно.
Пусть и s – две различные плоскости, а – вектор не параллельный этим плоскостям. Каждой точке Î поставим в соответствие её проекцию Moна плоскость s параллельно вектору . Полученное отображение f: –®s называется параллельным проецированием плоскости на плоскость s по направлению вектора .
§3. Аффинные отображения.
Определение. Пусть и s – две различные или совпадающие плоскости в пространстве. Взаимнооднозначное отображение f: –®s называется аффинным отображением плоскостина плоскость s, если любые три точки , , плоскости , лежащие на одной прямой, переходят в три точки M1, M2, M3 плоскости s, лежащие на одной прямой.
Отображение f: –®s называется подобием, если существует такое число k>0, что для любых точек , плоскости и их образов Ao, Bo в плоскости s выполняется |AoBo|=k| |.
Если плоскости и s совпадают, то аффинное отображение будет аффинным преобразованием, а подобие – преобразованием подобия. Можно доказать, что аффинное отображение сохраняет простое отношение трёх точек.
Лемма. Подобие является аффинным отображением.
Доказательство. Согласно неравенству треугольника |AB|+|BC|³|AC|, и при этом равенство возможно тогда и только тогда, когда B лежит на отрезке AC.
Пусть f: –®s – подобие, а , , – три точки плоскости , лежащие на одной прямой. Тогда, если лежит между и , то выполняется ||=||+||. Пусть M1, M2, M3 – образы этих точек. Тогда
|M1M2|+|M2M3|=k||+k||=
=k(||+||)=k||=|M1M3|.
А это означает, что M2 лежит на отрезке M1M3.
Примеры аффинных отображений.
1. Параллельное проецирование одной плоскости на другую.
2. Пусть f1: –®s – параллельное проецирование, а f2:s–®s – некоторое аффинное преобразование плоскости s (например, подобие). Тогда отображение f2°f1: –®s будет аффинным отображением.
Все свойства аффинных преобразований переносятся и на аффинные отображения. Доказательства следующих теорем получаются из доказательств теорем 1 и 2 заменой слова «преобразование» на слово «отображение».
Теорема 3. Пусть = {, , } и R = {O, A1, A2} – произвольные аффинные реперы в плоскостях и s соответственно. Тогда существует одно и только одно аффинное отображение плоскости на плоскость s, которое переводит репер Rв репер R ¢. При этом движении точка M с данными координатами в репере Rпереходит в точку M¢ с такими же координатами в репере R ¢.
Теорема 4. Любое аффинное преобразование f: –®s переводит репер на плоскости в репер на плоскости s.
Следствие. Аффинное отображение переводит параллельные прямые в параллельные прямые, луч – в луч, отрезок – в отрезок, полуплоскость – в полуплоскость, угол – в угол.
§3. Аффинная эквивалентность.
Определение. Фигуры F и , лежащие в плоскостях и s соответственно, называются аффинно-эквивалентными, если существует аффинное отображение f: –®s, которое фигуру переводит в фигуру F.
Вершины произвольного треугольника образуют репер. Поэтому из теоремы 3 следует, что произвольные два треугольника Î и ABCÎs аффинно-эквивалентны.
Теорема 5. Два четырёхугольника, которые лежат в плоскостях и s аффинно-эквивалентны тогда и только тогда, когда их можно
обозначить буквами и ABCD так, что для точек = I и E=ACIBD будет выполнено
(, )=(AC, E), (, )=(BD, E) (1)
Условие (1) означает, что соответствующие диагонали четырёхугольников делятся точкой пересечения диагоналей в одинаковом отношении.
Доказательство. Пусть четырёхугольники аффинно-эквивалентны. Это значит, существует аффинное отображение f: –®s, которое переводит первый четырёхугольник во второй. Обозначим их так, чтобы выполнялось A=f(), B=f(), C=f(), D=f(). Тогда отрезок переходит в отрезок AC, отрезок – в отрезок BD. Точка пересечения отрезков и переходит в точку пересечения отрезков AC и BD, и при этом сохраняется простое отношение трёх точек. Это означает, что выполняется (1).
Обратно, пусть четырёхугольники обозначены буквами так, что выполнено (1). Рассмотрим аффинное отображение f: –®s, которое переводит репер = {, , } в репер R = {A, B, D}. В силу (1) точка будет переходить именно в точку E. Мы имеем f()=A, f()=E. Значит, луч переходит в луч AE, а первое из условий (1) оказывает, что точка Î переходит в точку CÎAE. Таким образом, четырёхугольник переходит в четырёхугольник ABCD.
Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 353; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |