Изображение многоугольников.

1. Согласно теореме 3 любые два треугольника аффинно-эквива­лентны и поэтому могут служить изображением друг друга.

2. Согласно теореме 5 не любой четырёхугольник может служить изображением данного четырёхугольника, а только тот, для которого выполняются равенства (1), т.е. у которого соответствующие диагонали делятся точкой пересечения в одинаковом отношении. Для построения изображения ABCD данного четырёхугольника мы можем в качестве точек A, B, D выбрать произвольные три точки на плоскости изображений s, не лежащие на одной прямой. Тогда вершина C определится однозначно.

3. Аффинное отображение сохраняет параллельность прямых и отношение отрезков, лежащих на них. Поэтому изображением данной трапеции может служить только трапеция, у которой такое же отношение оснований. Условия (1) для двух трапеций равносильны требованию, что у этих трапеций одинаковое отношение оснований.

4. Аффинное отображение сохраняет параллельность прямых. Поэтому изображением параллелограмма является параллелограмм. В качестве изображений трёх вершин параллелограмма можно выбрать любые три точки на плоскости изображений. Поэтому изображением данного параллелограмма может служить любой параллелограмм. Даже если – ромб, прямоугольник или квадрат, всё равно его изображением может быть любой параллелограмм.

5. n-угольник при n³5. Для построения его изображения 3 точки, изображающие 3 его вершины можно выбрать произвольно, а изображения остальных вершин можно найти, используя тот факт, что точки пересечения диагоналей оригинала и изображения делят соответствующие диагонали в одинаковом отношении.

Пусть, например, дан пятиугольник . Пусть = I , = I . Выберем произвольные точки A, B, C. На отрезке AC находим точки M, N, такие что

(AC, M)= (, ), (AC, N)= (, ).

Затем на прямых BM и BN выбираем точки E и D так, чтобы

(BE, M)=(, ), (BD, N)=(, ).

6. В правильном шестиугольнике диагонали , , делятся точкой пересечения пополам. В данном случае, в качестве произвольных удобнее выбрать точки A, B и O. Затем мы находим другие вершины, используя тот факт, что отрезки BC, OD и AO параллельны и равны; и также отрезки OE, AF и BO параллельны и равны.