Изображение окружности и эллипса.

Мы уже говорили в 1 семестре, что при ортогональном проецировании окружности получается эллипс. Это верно при любой параллельной проекции f: –®s. Пусть l= Is, и – диаметры окружности,

такие что ||l, ^l. Тогда при проецировании длина всех отрезков, параллельных l не меняется, а все отрезки, перпендикулярные l,сжимаются или растягиваются в одной и той же пропорции. Тем самым, окружность равномерно сжимается или растягивается по одному направлению.

Пусть и – взаимно перпендикулярные диаметры окружности . Мы знаем, что все хорды параллельные к делятся пополам; касательная , проведённая к окружности через точку или перпендикулярна , т.е. она параллельна . При аффинном отображении сохраняется параллельность прямых и деление отрезка пополам. Поэтому на изображении CD будет делить хорды, параллельные к AB пополам и изображение l касательной в точке C будет параллельно к AB. Напомним, что диаметр CD, делящий хорды, параллельные к диаметру AB пополам, называется сопряжённым к диаметру AB. Свойство диаметров быть сопряжёнными взаимное: т.е. диаметр AB будет делить пополам хорды, параллельные к CD.

Итак, изображением окружности является эллипс, при этом перпендикулярные диаметры окружности изображаются сопряжёнными диаметрами эллипса. Но остаётся вопрос: а любой ли эллипс является изображением данной окружности, и что служит изображением эллипса?

Пусть g – произвольный эллипс, O – его центр, AB и CD – сопряжённые диаметры. Выберем репер R = {O, A, C}. Он определяет аффинную систему координат. Примем без доказательства, что относительно этой СК эллипс задаётся уравнением

x₁²+x₂²=1. (2)

Пусть – ещё один эллипс, – его центр, и – сопряжённые диаметры. Выберем репер = {, , }. Рассмотрим аффинное отображение, которое переводит репер в репер R. Поскольку оба эллипса имеют относительно соответствующего репера одно и то же уравнение (2), то при этом отображении будет переходить в g. Тем самым мы доказали, что любые два эллипса аффинно-эквивалентны и поэтому могут служить изображением друг друга. В частности, изображением данной окружности может служить любой эллипс или окружность.

Способы построения эллипса. Сразу оговоримся, что при построении кривых ставится задача найти способ построения любого количества точек этой кривой. Построив достаточное количество точек, мы можем потом соединить их вручную.

1. В соответствии с определением, с помощью двух гвоздиков и верёвочки. Для этого нам должны быть даны фокусы эллипса (или их можно вычислить) и большая полуось a. Мы помещаем гвоздики в фокусы эллипса, на них закрепляем верёвочку длины 2a. Будем перемещать карандаш, оставляя верёвочку натянутой. Карандаш опишет эллипс.

2.С помощью сжатия окружности. Нам должны быть известны полуоси эллипса a и b. Мы строим окружность радиуса a и произвольный её диаметр . Выбираем произвольное число точек на окружности. Из каждой точки опускаем перпендикуляр O_i на . На этом отрезке находим точку M_i, такую, что M_iO_i/O_i=b/a. Найденные точки будут принадлежать эллипсу.

3. Опять же известны полуоси эллипса a и b. Мы строим две концентрические окружности w₁ и w₂ радиусов a и b. Проводим несколько радиусов OM_i большой окружности, которые пересекут малую окружность в точках N_i. Из точек проводим вертикальные линии, а из точек N_i – горизонтальные. Точки пересечения K_i этих линий принадлежат эллипсу.

4.Следующий способ построения будем называть основным. Нам должны быть даны сопряжённые диаметры эллипса. Для обоснования этого метода построения сначала рассмотрим окружность у которой даны перпендикулярные диаметры AB и CD. Через концы каждого из диаметров проведём линии, параллельные другому диаметру. Получатся квадрат PQRS. Разобьём отрезок PC точками M_i на любое число равных частей и отрезок CO точками N_i на то же число частей (на чертеже мы разбили на 3 части). Пусть K_i=AM_iIBN_i. Тогда точки K_i лежат на окружности. Почему?

Упражнение. Самостоятельно докажите, что треугольники DOBN_i и DAPN_i равны, а из этого выведите, что ÐAK_iB=90°. Это и означает, что K_iÎg.

При аффинном отображении сохраняется деление отрезка на равные части. Поэтому этот способ построения можно применить и к эллипсу (см. чертёж).