Изображение шара.

Пусть – шар-оригинал. Проведём все возможные касательные к шару параллельные направлению проецирования. Они образуют цилиндрическую поверхность, которая касается шара по большой окружности . В пересечении цилиндрической поверхности с плоскостью изображений s

получится эллипс g_o, который называется очертанием шара. Этот эллипс вместе со своей внутренностью будет проекцией шара (обозначаем F_o).

Если направление проецирования не перпендикулярно плоскости изображений s, то g_o не является окружностью. Не будет окружностью и любая подобная g_o фигура. Такое изображение не будет наглядным. Поэтому мы рассмотрим только изображение шара в ортогональной проекции.

Для того, чтобы сделать изображение более наглядным, кроме очертания шара рисуют ещё изображение какой-либо большой окружности – экватора. Плоскость экватора p не должна быть перпендикулярна плоскости s. В противном случае, экватор будет изображаться отрезком, и изображение не будет наглядным. Также принято изображать полюса – концы диаметра шара , перпендикулярного плоскости экватора.

Изучим, как правильно изображать экватор и полюса. Пусть и – взаимно перпендикулярные диаметры экватора, причём ||s. Пусть A_oB_o и C_oD_o – проекции этих диаметров. Тогда |A_oB_o|=| |. Обозначим – радиус шара, j – угол между и плос­костью s. Тогда

|O_oA_o|=,

|O_oC_o|=·cosj, |O_oN_o|=·sinj.

Изображение шара подобно его проекции. Поэтому на изображении тоже выполняются соотношения

|OC|=|OA|·cosj, |ON|=|OA|·sinj. (*)

Проведём через точку C половину хорды CK, а через точку N – половину хорды NM. В DOCK и DONM

|OK|=|OM|=|OA|,

|OC|=|OK|·cosÐKOC=|OA|·cosÐKOC.

|ON|=|OM|·sinÐOMN =|OA|·sinÐOMN.

Следовательно, ÐKOC=ÐOMN=j и треугольники DKOC, DOMN равны. Поэтому

|KC|=|ON|, |OC|=|NM|. (3)

Итак.

1. Если дано изображение экватора w, мы можем однозначно определить, где располагаются точки N и S, изображающие полюсы. Пусть AB – большой диаметр для w, CD – малый диаметр. Проведём через точку C половину хорды CK параллельно AB. На перпендикуляре к AB, проходящем через точку O отложим отрезки ON и OS, равные CK.

2.Если дано изображение полюсов N и S, мы можем построить изображение экватора. Большой диаметр изображения экватора – это диаметр очертания шара, перпендикулярный NS. Малый диаметр CD лежит на прямой NS. Проведём через точку N – половину хорды NM. Тогда |OC|=|OD|=|NM|.

Ещё раз подчеркнём, что полюсы лежат на очертании шара тогда и только тогда, когда экватор изображается отрезком.

При построении изображения шара вместе с декартовой СК следует учесть, что оси Ox и Oy должны проходить через сопряжённые диаметры экватора, а ось Oz – через полюс. Если у нас уже изображена ось Ox, мы проводим вспомогательную хорду изображения экватора, параллельную Ox, и через середину хорды должна проходить Oy.