От тригонометрических функций

Символом R(x) будем обозначать рациональные функции от х. Запись R(sinx, cosx) обозначает, что функция рациональная относительно как синуса, так и косинуса.

Основная идея всех приведенных ниже подстановок состоит в том, что они сводят вычисление интеграла к интегралу от рациональных дробей.

Общий случай. Рассмотрим интеграл вида и покажем, что этот интеграл с помощью подстановки всегда сводится к интегралу от рациональной функции и, значит, такие интегралы выражаются в конечном виде через элементарные. Сделаем подстановку:

; ; ;

; .

Таким образом, sin x, cos x, dx выражаются рационально через t. А так как рациональная функция от рациональной есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл, найдем интеграл от рациональной функции:

.

Эту подстановку называют универсальной тригонометрической подстановкой.

Частные случаи. 1. Если имеет место тождество

то для приведения интеграла к рациональному виду рекомендуется применять подстановку .

Тогда , , , .

В частности, указанное выше тождество выполняется, если функции и входят только в четных степенях, т. е. . Тогда после подстановки получим

.

Такую же подстановку применяют при вычислении интегралов вида

.

Замечание. Интеграл от сводится к интегралу , т. к. .

4. Интегралы вида , , легко вычисляются после применения известных формул тригонометрии

;

;

.