![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Случайные сигналы. Стационарные случайные процессы. Свойство эргодичности.Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая в результате измерения, заключена в сигнале. До приема сообщения (до испытания) сигнал следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после приема сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени. Важной, но не исчерпывающей характеристикой случайного процесса является присущий ему одномерный закон распределения вероятностей. На рис.1.19 изображена совокупность функций х1(t), х2(t), ..., образующих случайный процесс X(t). Значения, которые могут принимать отдельные функции в момент времени t =t1 образуют совокупность случайных величин х1(t), х2(t), ... Вероятность того, что величина xk(t1)при измерении попадает в какой-либо заданный интервал (а, b) (рис.1.19), определяется выражением Pt1 (а < х Рис.1.19. Совокупность функций, образующих случайный процесс Функция р(х; t1) представляет собой дифференциальный закон распределения случайной величины х(t1); р(х; t1) называется одномерной плотностью вероятности, аPti - интегральной вероятностью.
(1.133) где xmin и xmах — границы возможных значений х(t1). Если же х является случайной величиной дискретного типа и может принимать любое из конечного числа дискретных значений, то (1.133) следует заменить суммой где Pi — вероятность, соответствующая величине xi. Задание одномерной плотности вероятности р(х;t1) позволяет произвести статистическое усреднение как самой величины х, так и любой функции f(х). Под статистическим усреднением подразумевается усреднение х по множеству (по ансамблю) в каком-либо «сечении» процесса, т. е. в фиксированный момент времени.
математическое ожидание (
Средне-квадратическое отклонение Одномерная плотность вероятности недостаточна для полного описания процесса, так как она дает вероятностное представление о случайном процессе X(t) только в отдельные фиксированные моменты времени. Более полной характеристикой является двумерная плотность вероятности[1] р(х1 ,х2; t1 ,t2), позволяющая учитывать связь значений х1 и х2, принимаемых случайной функцией в произвольно выбранные моменты времени t1 и t2. Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является п-мерная плотность вероятности при достаточно больших п. Однако большое число задач, связанных с описанием случайных сигналов, удается решать на основе двумерной плотности вероятности. Задание двумерной плотности вероятности р (х1 ,х2;t1, t2) позволяет, в частности, определить важную характеристику случайного процесса — ковариационную функцию Согласно этому определению ковариационная функция случайного процесса X (t) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции X (t) в моменты t1 и t2. Для каждой реализации случайного процесса произведение х(t1) х(t2) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плотностью вероятности р(х1 ,х2; t1 ,t2). При заданной функции р(х1 ,х2; t1, t2) операция усреднения по множеству осуществляется по формуле
(1.138) Таким образом, при нулевом интервале между моментами времени t1 и t2 ковариационная функция определяет величину среднего квадрата случайного процесса в момент t = t1.
(1.139) Подставляя в (1.138)
Исследование случайного процесса, а также воздействия его на радиоцепи существенно упрощается при стационарности процесса. Случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность вероятности р (х1 ,х2, ..., хп; t1 ,t2, ..., tn) произвольного порядка п зависит только от интервалов t2—t1, t3—t1, ..., tn—t1 и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t. В радиотехнических приложениях теории случайных процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности (случайный процесс, стационарный в широком смысле). Выполнение этого условия позволяет считать, что математическое ожидание, средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от самих моментов времени t1 и t2 , а только от интервала между ними τ = t2 — t1. Стационарность процесса в широком смысле можно трактовать как стационарность в рамках корреляционной теории (для моментов не выше второго порядка).
(1.141)
(1.145) Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается при использовании условия эргодичности процесса. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.
(1.146)
(1.147)
Если х(t) представляет собой электрический сигнал (ток, напряжение), то Выражение (1.147) внешне совпадает с определением корреляционной функции детерминированного сигнала (периодического). Часто применяется нормированная корреляционная функция
Функции Кх(τ), Rx(τ) и rх(τ) характеризуют связь (корреляцию) между значениями х(t), разделенными промежутком τ. Чем медленнее, плавнее изменяется во времени х(t), тем больше промежуток τ, в пределах которого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайной функции.
|