Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Случайные сигналы. Стационарные случайные процессы. Свойство эргодичности.




Читайте также:
  1. Вопрос 23: Функции внимания. Слуховые и зрительные сигналы.
  2. Вопрос 30 Информация и коммуникации в управлении. Коммуникационные процессы.
  3. Вопрос №60:Регенирация как свойство живого к самообновлению и восстановлению.Физиологическая регенерация,ее биологическое значение.
  4. Вязкостью называется свойство жидкости оказывать сопротивление сдвигу.
  5. Гидрометаллургические процессы.
  6. Допечатные процессы.
  7. Информационные процессы.
  8. Круговые термодинамические процессы.
  9. Надсознательные процессы. Соотношение сознательных и надсознательных процессов. Проблема изучения неосознаваемых процессов.
  10. Неосознаваемые психические процессы. Понятие о бессознательном

Информация, передаваемая по каналу связи или извлекаемая в результате измерения, заключена в сигнале.

До приема сообщения (до испытания) сигнал следует рассматривать как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени, подчиняющихся некоторой общей для них статистической законо­мерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после прие­ма сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени.

Важной, но не исчерпывающей характеристикой случайного процесса является присущий ему одномерный закон распределения вероятностей.

На рис.1.19 изображена совокупность функций х1(t), х2(t), ..., образую­щих случайный процесс X(t). Значения, которые могут принимать отдель­ные функции в момент времени t =t1 образуют совокупность случайных ве­личин х1(t), х2(t), ...

Вероятность того, что величи­на xk(t1)при измерении попадает в какой-либо заданный интервал (а, b) (рис.1.19), определяется вы­ражением

Pt1 (а < х b) (1.132)

Рис.1.19. Совокупность функций, образующих случайный процесс

Функция р(х; t1) представляет собой дифференциальный закон распределения случайной величины х(t1); р(х; t1) называется одномер­ной плотностью вероятности, аPti - интегральной вероятностью.

Функция р(х; tt) имеет смысл для случайных х непрерывного типа, могущих принимать любое значение в некотором интервале. При любом характере функции р(х; t1) должно выполняться равенство

(1.133)

где xmin и xmах — границы возможных значений х(t1).

Если же х является случайной величиной дискретного типа и может принимать любое из конечного числа дискретных значений, то (1.133) следует заменить суммой

где Pi — вероятность, соответствующая величине xi.

Задание одномерной плотности вероятности р(х;t1) позволяет произве­сти статистическое усреднение как самой величины х, так и любой функции f(х). Под статистическим усреднением подразумевается усреднение х по множеству (по ансамблю) в каком-либо «сечении» процесса, т. е. в фиксиро­ванный момент времени.

Для практических приложений наибольшее значение имеют следующие параметры случайного процесса:

математическое ожидание (



дисперсия

Средне-квадратическое отклонение

Одномерная плотность вероятности недостаточна для полного описа­ния процесса, так как она дает вероятностное представление о случайном процессе X(t) только в отдельные фиксированные моменты времени. Более полной характеристикой является двумерная плотность вероятности[1] р(х12; t1 ,t2), позволяющая учитывать связь значений х1 и х2, принимае­мых случайной функцией в произвольно выбранные моменты времени t1 и t2.

Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является п-мерная плотность вероятности при достаточно больших п. Од­нако большое число задач, связанных с описанием случайных сигналов, уда­ется решать на основе двумерной плотности вероятности.

Задание двумерной плотности вероятности р (х12;t1, t2) позволяет, в частности, определить важную характеристику случайного процесса — ковариационную функцию (1.236)

Согласно этому определению ковариационная функция случайного процесса X (t) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции X (t) в моменты t1 и t2.

Для каждой реализации случайного процесса произведение х(t1) х(t2) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плот­ностью вероятности р(х12; t1 ,t2). При заданной функции р(х12; t1, t2) операция усреднения по множеству осуществляется по формуле



(1.137)

При t2 = t1 двумерная случайная величина х1х2 вырождается в одно­мерную величину х12= х22 . Можно поэтому написать

(1.138)

Таким образом, при нулевом интервале между моментами времени t1 и t2 ковариационная функция определяет величину среднего квадрата слу­чайного процесса в момент t = t1.

При анализе случайных процессов часто основной интерес представляет его флуктуационная составляющая. В таких случаях применяется корре­ляционная функция.

(1.139)

Подставляя в (1.138) — тх вместо и — тх (t2) вме­сто х (t2), можно получить следующее выражение:

(1.140)

При t1 = t2 = t выражение (1.139) в соответствии с (1.135) определяет дисперсию случайного процесса Dx(t). Следовательно,

 

Исследование случайного процесса, а также воздействия его на радио­цепи существенно упрощается при стационарности процесса.

Случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность вероятности р (х12, ..., хп; t1 ,t2, ..., tn) произвольного порядка п зависит только от интервалов t2—t1, t3—t1, ..., tn—t1 и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.

В радиотехнических приложениях теории случайных процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от вре­мени только одномерной и двумерной плотностей вероятности (случайный процесс, стационарный в широком смысле). Выполнение этого условия поз­воляет считать, что математическое ожидание, средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция за­висит не от самих моментов времени t1 и t2 , а только от интервала между ними τ = t2 — t1.



Стационарность процесса в широком смысле можно трактовать как ста­ционарность в рамках корреляционной теории (для моментов не выше вто­рого порядка).

Таким образом, для случайного процесса, стационарного в широком смысле, предыдущие выражения можно записывать без обозначения фикси­рованных моментов времени. В частности,

(1.141)

(1.142)

 

(1.143)

 

(1.144)

 
 


(1.145)

Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается при использовании условия эргодичности процесса. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых

статистиче­ских характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно ус­реднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.

Условие эргодичности случайного процесса включает в себя и условие его стационарности. В соответствии с определением эргодического процесса соотношения (1.142)—(1.145) эквивалентны следующим выражениям, в кото­рых операция усреднения по времени обозначена чертой:

(1.146)

 
 


(1.147)

(1.148)

 

(1.149)

(1.150)

Если х(t) представляет собой электрический сигнал (ток, напряжение), то постоянная составляющая случайного сигнала, Rx(0) = — средняя мощность флуктуации сигнала [относительно постоянной состав­ляющей х(t)].

Выражение (1.147) внешне совпадает с определением корреляци­онной функции детерминированного сигнала (периодического).

Часто применяется нормированная корреляционная функция

(1.151)

Функции Кх(τ), Rx(τ) и rх(τ) характеризуют связь (корреляцию) между значениями х(t), разделенными промежутком τ. Чем медленнее, плав­нее изменяется во времени х(t), тем больше промежуток τ, в пределах ко­торого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайной функции.


Дата добавления: 2015-04-21; просмотров: 55; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты